从m个人的列表中选择n个人从y个人的列表中随机选择x个人的概率是多少？

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如果我要从363人中选择232人而不进行替换，那么在此选择的12个人中，有2个人的概率是多少？

这是一场超级比赛的随机抽签，共有363名参赛者获得232个位置。关于选择是否偏向特定的12人小组存在争议。

我最初的计算方法是有232个选择363个可能的选择。十二个列表中任何一个人的组合数是1选择12 + 2选择12 + ... + 11选择12 + 12选择12。因此1选择12 + 2选择12 .... / 232选择363 。最终是一个非常低的数字，显然太低了。

我该如何计算？

combinatorics randomness hypergeometric

— 萨尔格
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两个技术要点。首先，由于结果已知，您现在要处理的是可能性而不是概率。第二，假设您有结果，理论上的可能性并不重要。我认为最好采用选择方法：如何选择选择？您需要证明方法的正确性，而不是结果的正确性。

— 米歇尔2012年

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为了估计选择概率，米歇尔认为这是一种可能性。这里似乎并非如此。

— ub

您在使用超几何RV的简单计算时需要小心，因为抱怨的12个人并不是随机选择的。他们在抱怨，因为他们没有被选中。

— 盖伊

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我对问题的解释是这样的：假设采样是按照将张白色纸质票据放在广口瓶中进行的，每张纸上标有一个人的名字，然后在充分搅拌广口瓶中的内容后随机取出张白纸来进行的。事先有张票被涂成红色。什么是机会正好两个选择的门票是红色的？最多有两张票是红色的机会是什么？ $363$ $232$ $12$

可以获得精确的公式，但是我们不需要做太多的理论工作。取而代之的是，我们只是在从罐子中取出门票时跟踪机会。当它们中的被撤回时，让已经看到张红色票证的机会写成。要开始，注意，如果（你不能有任何的红色门票在开始之前）和 $m$ $i$ $p(i,m)$ $p(i,0)=0$ $i\gt 0$ $p(0,0)=1$ （可以确定您一开始就没有红票）。现在，在最近的一次抽奖中，门票是红色的还是不是红色的。在第一种情况下，我们先前有机会准确地看到张红色门票。然后，我们碰巧从剩余的张票中抽出一张红色票，到目前为止，票数正好是红色。因为我们假设所有彩票在每个阶段都有相等的机会，所以我们以此方式抽出红色的机会是 $p(i-1,m-1)$ $i-1$ $363 - m + 1$ $i$ 。在另一种情况下，我们有机会在之前的抽奖中准确获得张红牌，而在下一次抽奖中不向样本添加其他红票的机会为 $(12-i+1) / (363 - m + 1)$ $p(i,m-1)$ $i$ $m-1$ $(363 - m + 1 - 12 + i) / (363 - m + 1)$ 。从那里，使用基本的概率公理（即，两个互斥情况的机会相加，而条件机会相乘），

p （ 一世 ， 米 ） = \frac{p （ 一世 - 1个 ， 米 - 1个 ） （ 12 - 一世 + 1个 ） + p （ 一世 ， 米 - 1个 ） （ 363 - 米 + 1个 - 12 + 一世 ）}{363 - 米 + 1个} 。

$p(i,m) = \frac{p(i-1,m-1) (12-i+1) + p(i,m-1) (363 - m + 1 - 12 + i)}{363 - m + 1}.$

我们递归重复此计算，铺设的值的三角形阵列为和。一点计算之后，我们得到和 $p(i,m)$ $0\le i\le 12$ $0 \le m \le 232$ $p(2,232) \approx 0.000849884$ ，回答问题的两个版本。这些数字很小：无论您怎么看，它们都是非常罕见的事件（少于千分之一）。 $p(0,232)+p(1,232)+p(2,232)\approx 0.000934314$

仔细检查一下，我用计算机进行了1,000,000次此练习。在这些实验的932 = 0.000932中，观察到2张或更少的红色票据。这非常接近计算结果，因为期望值 934.3中的采样波动约为30（向上或向下）。这是在R中进行仿真的方式：

> population <- c(rep(1,12), rep(0, 363-12)) # 1 is a "red" indicator
> results <- replicate(10^6, 
             sum(sample(population, 232)))   # Count the reds in 10^6 trials
> sum(results <= 2)                          # How many trials had 2 or fewer reds?
[1] 948

这次，由于实验是随机的，结果有所变化：在百万次试验中的948次中，观察到两个或更少的红牌。这仍然与理论结果相符。）

结论是，232张票中有两张或更少是红色的可能性很小。 如果您确实有363个人中的232个样本，则此结果有力地表明，“罐中票”模型不是对如何获取样本的正确描述。 其他解释包括（a）使红色票证更难以从广口瓶中拿走（对它们有“偏见”），以及（b）在观察到样本后对票证进行了着色（事后数据监听，不表示有任何偏见）。

行动中的解释（b）的一个示例是一个臭名昭著的谋杀审判的陪审团。假设其中包括363人。在那个游泳池之外，法院采访了其中的232人。一位雄心勃勃的报纸记者精心审查了泳池中每个人的简历，并注意到363名中有12名是金鱼爱好者，但其中只有两名接受了采访。法院对金鱼鸽友有偏见吗？可能不是。

— ub
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注意：在模拟中，标记了最前面的12个“票”并不重要，因为所有采样都是随机进行的，无需替换（通过sample）。实际上，在每次迭代中，每次sample调用时都会彻底混合票证，然后再撤回232张票证。

— ub

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天哪-这实际上不是我期望的结果。感谢您的周密工作和良好的解释。（奇怪的是，我实际上在最早开发R的奥克兰大学进行了一些统计培训）

— Sarge 2012年

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@whuber给出了详尽的解释，我只想指出有一种对应于这种情况的标准统计分布：超几何分布。因此，您可以直接在R中获得任何这样的概率：

在选择的12个中恰好有2个的概率：

   > dhyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.0008498838

在12个选定的概率中，有2个或更少的概率：

   > phyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.000934314

— 安妮子
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+1谢谢。我应该提到这种联系。超几何分布经典地出现在采样重采样实验中。这12个特定的人（我的“红票”）就像被捕获，标记并扔回泳池的鱼。232的样本就像随后被捕获的那组鱼一样。超几何分布描述了捕获的鱼的频率。

— ub

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由于不是随机选择组（“在抽奖前将12条鱼涂成红色”），因此赔率比用简单的超几何分布计算的几率要高得多。

根据问题的描述，我们正在测试抽奖中的欺诈行为。一个特定的12人小组抱怨说只有2人被选中，而预期的人数是232/363〜2/3 = 8。

我们真正需要计算的是“ 没有大小12组选择2个成员” 的几率。至少一个小组有2个或更少的几率（因此会抱怨平局的公平性）要高得多。

当我运行此模拟并检查30个（= 360/12）组中没有多少个试验有2个或更少的选择时，我获得了大约2.3％的机会。1:42低但是不是不可能。

您仍应检查抽奖的过程，因为它可能会偏向特定人群。他们可能聚在一起，以较小的概率（例如，第一个或最后一个数字）或抽奖程序中的任何因变量收到抽奖的范围。但是，如果您在程序中没有发现任何缺陷，则可以返回1:42的赔率，这对团队来说真是倒霉。

— 盖伊
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很好的一点是，但（a）当然不是每个可能的12个成员组都具有足够的相似性，并且（b）并非所有具有足够相似性的组都具有正好12个成员。

— zbicyclist 2012年

@zbicyclist，我并不认为计算正确。我想提出一个合理的怀疑（因为我们处于欺诈检测的法律领域），抽签是无罪的。

— 盖伊