使用进行假设检验，因为收敛速度更快？

假设我有是iid，并且我想做一个假设检验，为0。假设我有大n，并且可以使用中心极限定理。我还可以做一个测试为0，这等效于测试为0。此外，收敛到卡方，其中收敛到法线。因为具有更快的收敛速度，所以我不应该将其用于测试统计量，这样我将获得更快的收敛速度并且测试会更高效吗？ $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

我知道这种逻辑是错误的，但是我已经思考了很长时间，无法弄清原因。

hypothesis-testing convergence delta-method

— 徐望
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不清楚你在问什么。你能在解释什么意义的收敛速度是“快”比的？您如何测量费率？您在两个测试中使用什么测试统计信息？显然，这些选择可以有所作为。

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber谢谢您的提问。我称其为“更快的速率”，因为n大于n的平方根。这种直觉是不正确的吗？我想到了测试统计量的X形或X形平方。

— 徐望

我认为您专注于错误的事情。此速率告诉您采样分布以多快的速度接近极限正态分布-标准正态或。由于很大，因此它的值没有任何实际意义 -不相关。该问题涉及电力每次测试的，而不是如何很好地近似检验统计量的极限分布。

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— ub

@whuber感谢您提供这些详细信息。我一直在想它们，但还是不明白。X-bar ^ 2的近似方差最终会小于X-bar的近似方差吗？那不是X-bar ^ 2的收敛速度比X-bar高的结果吗？很抱歉没有看到我的基本误会。我知道我还缺少一些重要的东西，希望能纠正这种想法。

— 许望

近似方差是较大还是较小无关紧要，因为重要的是统计量的分布。要看到这一点，请考虑使用与对进行t检验。统计信息方差始终是方差100倍，但是归一化结果导致两个实际测试统计信息的分布均为。在您的情况下，请记住对变量求平方将得出变量。从极限来看，这种转换意味着在给定特定级别的情况下，两个测试在功率方面是相同的。

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

您描述的两个测试是等效的。

如果我有两个假设：

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

那么它们等于

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

如果已知数据是正常的，则样本均值也将是具有均值和方差（可能已知或未知）。 $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

如果不知道数据是正态的，则可以使用中心极限定理，并且上面的结果将渐近成立。您声称将收敛到卡方变量“更快”，而将收敛到普通变量。在趋于无穷大的意义上，这是正确的， $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

但这还不是全部。我们正在执行似然比测试，或至少进行一次近似测试。无论我们执行卡方检验还是正常检验，该比率都将相同。（回想一下，正常随机变量的平方遵循卡方分布。）如果样本均值出现在相关正态分布或t分布的第95个百分点，则平方和将等于分布的第95个百分位数（这不是相同的数字，但这无关紧要）。 $\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
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