每个非平稳序列是否可以通过微分转换为平稳序列

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是否可以通过应用微分将每个非平稳时间序列转换为平稳时间序列？另外，如何确定要应用的差分顺序？

您是否只是以间隔1,2 ... n求差，并每次进行平稳的单位根检验，以查看所得序列是否平稳？

time-series stationarity

— 胜利者
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Answers:

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否。作为反例，令为任意随机变量，并使时间序列在时间处具有值。的差是线性组合 $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

系数（可以计算，但其值与本讨论无关）。除非是常数，否则左侧和右侧具有不同的分布，从而证明差异不是平稳的。因此，没有多少微分会使该时间序列平稳。 $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— ub
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因此，给定一个时间序列（线性），您如何知道它是否可以差分形成一个平稳序列？

— 维克多

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请解释“线性”时间序列的含义。通常，拟合AR模型的过程等同于估计使序列平稳所需的差异量。

— ub

谢谢..让我考虑一下。我不知道有多少我不知道

— Victor

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这似乎是由于以下事实的结果：指数函数是其自身的导数，并且立即向我暗示，当且仅当其建模的“真”函数为多项式时，才能通过重复进行微分使时间序列平稳（或等效地，其泰勒级数展开是有限的）。

— zwol

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@zwol这是一个很好的见解-这就是为什么要首先想到指数反例的原因-但这只是故事的一部分。如果期望是时间的多项式函数，则足够的微分将使时间序列的一阶保持平稳：也就是说，分布的第一时刻将随时间不变。但是，微分并不一定会使较高的矩或多元矩保持平稳。

— ub

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胡言乱语的答案是正确的。有很多时间序列无法通过微分使它们平稳。尽管这在严格意义上回答了您的问题，但也许值得一提的是，在具有白噪声的ARIMA模型的广泛类别中，微分可以将它们转变为ARMA模型，而当（自回归特征多项式在单位圆内。如果为可观察序列指定一个适当的开始分布，该开始分布等于平稳分布，则将得到严格的平稳时间序列过程。

因此，通常来说，不是，并非每个时间序列都可以通过微分转换为平稳序列。但是，如果将范围限制在具有白噪声和适当指定的起始分布（以及单位圆内的其他AR根）的ARIMA类中的时间序列模型中，则可以使用差分来获得平稳性。

— Ben-恢复莫妮卡
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+1可以说，对于某些（许多？）应用程序，这比我提供的纯粹理论上的答案更有用。

— ub

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是的-我认为有时是“这是您的问题的答案，而现在这是您也应该提出的其他问题的答案”的问题。

— 本-恢复莫妮卡

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