通过重复观察的数量来估计被抽样人群的数量

假设我有五千万个独特的事物，我采样了1000万个样本（有替换样本）...我附上的第一张图显示了我对相同的“事物”进行了多少次采样，这与人口大于我的样本。

但是，如果我的人口只有1000万，而我又进行了1000万采样，则如第二幅图所示，我将更频繁地对同一事物进行采样。

我的问题是-从我的观察频率表（条形图中的数据）中，当未知时，是否有可能获得原始人口规模的估计？如果您可以提供如何在R中进行此操作的指针，那就太好了。

加万怎么样

问题是我们不知道观察到多少个零计数。我们必须对此进行估计。对于这种情况，经典的统计过程是期望最大化算法。

一个简单的例子：

假设我们从泊松常数为0.2的未知人口（1,000,000）中提取。

counts <- rpois(1000000, 0.2)
table(counts)

     0      1      2      3      4      5
818501 164042  16281   1111     62      3

但是我们没有观察到零计数。相反，我们观察到这一点：

table <- c("0"=0, table(counts)[2:6])

table

     0      1      2      3      4      5
     0 164042  16281   1111     62      3

观察到的可能频率

k <- c("0"=0, "1"=1, "2"=2, "3"=3, "4"=4, "5"=5)

初始化泊松分布的均值-只需猜测一下（我们知道这里为0.2）。

lambda <- 1 

1. 期望-泊松分布

   P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)
   P_k
                 0           1           2           3           4           5
   0.367879441 0.367879441 0.183939721 0.061313240 0.015328310 0.003065662  
   n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])
   
   
   n0
          0
   105628.2     
   table[1] <-  105628.2

2. 最大化

   lambda_MLE <- (1/sum(table))*(sum(table*k))        
   lambda_MLE        
   [1] 0.697252        
   lambda <- lambda_MLE

3. 第二次迭代

   P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)        
   n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])       
   table[1] <-  n0 
   lambda <- (1/sum(table))*(sum(table*k))
   
   
    population lambda_MLE
   
   
   [1,]   361517.1  0.5537774

现在迭代直到收敛：

for (i in 1:200) {  
P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)  
n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])
table[1] <-  n0
lambda <- (1/sum(table))*(sum(table*k))
}
cbind( population = sum(table), lambda_MLE)
     population lambda_MLE
[1,]    1003774  0.1994473

我们的人口估计为1003774，而泊松率估计为0.1994473-这是抽样人口的估计比例。您要处理的典型生物学问题中的主要问题是假设泊松率是一个常数。

很抱歉，这篇冗长的文章-这个Wiki确实不适合R代码。

这听起来像是“标记和重新捕获”（又称为“捕获重新捕获”）的形式，这是生态学（以及流行病学等其他领域）中众所周知的技术。尽管您的情况并非适用于此处说明的Lincoln-Petersen方法的情况，但不是我的领域而是Wikipedia上关于商标和重新获得的文章看起来很合理。

我认为shabbychef是适合您的情况的正确方法之一，但是使用Poisson分布来近似二项式可能会使事情变得简单一些，并且如果人口数量很大，则应该是一个很好的近似值，如您的示例。我认为获得人口规模的最大似然估计的显式表达式应该非常简单（再次参见例如Wikipedia），尽管我现在没有时间来确定细节。

$n$$k$$k$$P = \frac{1}{k}$$m$$m$$n$${n \choose m} P^m (1-P)^{n-m}$$n$$n$$k$$m$$(1-P)$$1$

$P_m$$m$$P_{m} / P_{m+1}$$(k-1)\frac{m+1}{n-m}$$k$