为单变量指数Hawkes过程寻找MLE

单变量指数霍克斯过程是一个自激点过程，事件到达率为：

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

其中是事件的到达时间。$t_1,..t_n$

对数似然函数为

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

可以递归计算：

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

我可以使用什么数值方法找到最大似然法？最简单的实用方法是什么？

Nelder-Mead单纯形算法似乎很好用。它是由Apache Commons Math库在Java中实现的，网址为https://commons.apache.org/math/。我还写了一篇关于多变量高频不规则空间数据的点过程模型中的Hawkes过程的论文。

felix，使用exp / log转换似乎可以确保参数的正性。至于小Alpha，请在arxiv.org上搜索一篇名为“几乎不稳定的霍克斯过程的极限定理”的论文。

我使用nlopt库解决了此问题。我发现许多方法都可以很快收敛。

您也可以进行简单的最大化。在R中：

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)