排序列表上的分布

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说我们有一个有序的物品清单

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

我正在寻找一个上面的列表中受某些参数alpha控制的发行版系列，以便：

对于alpha = 0，它将第一项的概率分配为1，将其分配给上方，将其余的分配为0。也就是说，如果我们从此列表中进行采样并进行替换，则总会得到a。
随着alpha的增加，我们会按照指数衰减的方式，为列表的其余部分分配越来越高的概率，并遵守列表的顺序。
当alpha = 1时，我们为列表中的所有项目分配相等的概率，因此从列表中进行采样类似于忽略其顺序。

这与几何分布非常相似，但是有一些明显的区别：

在所有自然数上定义了几何分布分布。在上面的例子中，列表的大小是固定的。
没有为alpha = 0定义几何分布。

distributions sampling discrete-data

— 阿梅里奥·巴斯克斯·雷纳（Amelio Vazquez-Reina）
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您似乎描述了一个截断的几何分布族。但是，有无数家庭在质量上像您的描述那样。因此，更重要的是要解释您想要使用这样一个家庭的目的。

— ub

谢谢@whuber是的，我知道有无数个符合此说明的发行版。有什么特别的想法吗？我有一个系统目前正在选择此列表的第一个元素（代表分数），但是我想将这一选择随机化（并对该随机化进行参数化）。我不是在寻找基于alpha的特定类型的“衰变”。只要alpha = 0表示不进行随机化，即选择第一个元素，1表示“选择任何元素”，并且0到1之间的alpha表示这两个alpha之间的“某物”，那就足够了。

— 阿梅利奥·瓦兹克斯·雷纳

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假设（列表元素的等级）在具有一个值，该列表包含元素（关系可以随机断开）。然后我们可以定义选择的概率为： $r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

这基本上只是一个适当的标准化截断几何分布，而且还涉及到了使用SoftMax功能。在的特殊情况下，请使用约定。注意，分母始终可以用简单的封闭形式的表达式编写。对于它采用值；对于它采用值。 $\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

对于，很显然，这只是为每个元素分配了相等的概率。随着，这接近将所有概率质量赋予第一个元素。 $\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

在包含10个元素的列表中，使用可以清楚地看到您要求的大致指数下降： $\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

下图使用长度为10的列表绘制了选择第一个元素的概率基于变化情况。 $\alpha$

— 乔斯利伯
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真好这比我曾经希望的要聪明得多。

— 马修·德鲁里

@Matthew这些是我前面提到的截断的几何分布。

— ub

4

我将尝试从基本原理构建一个示例。

让我们以三种分布为基础：

P是对列表的第一个元素分配概率为1，对所有其他元素分配为零的分布。
E是分配概率到列表的第一个元素，到下一个元素，依此类推。由于列表是有限的，所以它们的总和不会为，但是我们可以归一化以获得概率分布。 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U是列表上的均匀分布。

现在我们要考虑这些分布的一参数正凸组合

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

对于所有其中，具有和。 $\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

在几何上，我们希望在点 1、0、0，它从第一个角开始，到最后一个角。另外，由于我们希望分布在中间时间看起来是“指数”的，因此我们希望曲线在时间处占据三角形的内部。 $(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

这是曲线的一个选项：

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

我从我们想要的属性向后构造了此工作。曲线在起始点和结束点之间沿着三角形的边缘延伸。公式的其余部分只是该边缘曲线和单点的凸和。，在时间处将曲线沿边缘推入内部。 $(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— 马修·德鲁里
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