两个标准的正常随机变量是否总是独立的？

16

我了解到标准正态分布是唯一的，因为均值和方差分别固定为0和1。基于这个事实，我想知道是否有两个标准随机变量必须是独立的。

normal-distribution independence

— 霍克
source

12

他们为什么要..？独立与分配无关。

— 添

27

考虑和。他们不是独立的。

X

$X$

X

$X$

— djechlin '16

从实际的角度来看，您可能会发现这很有帮助。stats.stackexchange.com/questions/15011/…–

— JustGettin

除了给出的漂亮示例外，通常考虑具有N（0 ,!）边际分布的双变量正态分布。-1与1之间可能有任何相关性。以下示例均为特殊情况。顺便说一句，两个标准正态变量可以是相关的，但不具有双变量分布。

— Michael R. Chernick

1

我注意到蝙蝠侠给出的总体结果可能与我所建议的相同。Y = -X情况的相关性为-1，因此是双变量法线的简并形式。我在这里（本文中）没有看到一个说明非双变量正态的案例。

— Michael R. Chernick

42

答案是不。例如，如果是标准随机变量，则遵循相同的统计量，但是和显然是相关的。 $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— 扎普
source

26

不，没有理由相信任何两个标准高斯都是独立的。

这是一个简单的数学构造。假设和是两个独立的标准正态变量。然后这对 $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

是两个相关的标准正态变量。因此，只要它们是两个独立的正态变量，就必须有两个因变量。

第二个变量是正态的，因为独立正态变量的任何线性组合也是正态的。该使得方差等于。 $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

直观地讲，它们是相关的，因为知道的值会为您提供可用于预测第二个变量的值的其他信息。例如，如果您知道，则第二个变量的条件期望为 $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— 马修·德鲁里
source

7

这是一个相当广泛的答案：

令共同为高斯随机变量（即对于任何实数，具有高斯分布）。然后，当且仅当（即它们不相关）时，和是独立的。有关详细信息，请参见这些注释。 $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

如何生成非独立的标准正态随机变量？挑选自己喜欢的形式的矩阵，使得具有正根。然后，应用乔列斯基decompositon到。然后，取两个独立的标准正态随机变量，然后取向量 $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ 具有标准的法线分量，但是当且仅当，分量是独立的。 $p=0$

— 蝙蝠侠
source

5

一个非二元正态示例（如Michael Chernick在评论中所建议）：

令。 $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$

— 蝙蝠侠
source