假设$Y$是连续随机变量，而$X$是离散变量。

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$$

众所周知，$\Pr(Y=y) = 0$因为$Y$是连续的随机变量。并且据此，我很容易得出结论，概率$\Pr(X=x|Y=y)$是不确定的。

但是，维基百科在此声称实际上定义如下：

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$$

问题：维基百科如何设法确定这种可能性？

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我的尝试

这是我的尝试，目的是使Wikipedia在限制方面获得结果：

$$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$$

现在，$\Pr(X=x|Y=y)$似乎定义为$\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$，它与维基百科声称的

维基百科是怎么做到的？

但是我仍然觉得我在这里滥用微积分。因此，我认为$\Pr(X=x|Y=y)$是未定义的，但是在尽可能接近的范围内，我们可以定义$\Pr(Y=y)$和$\Pr(Y=y|X=x)$，但实际上并非如此，因此定义了$\Pr(X=x|Y=y)$。

但是我对很多事情不确定，包括我在那做过的极限技巧，我觉得也许我甚至没有完全理解我所做的事情的含义。

条件概率分布，，，被正式定义为溶液的方程，其中表示与的分布相关的代数。维基百科中的贝叶斯（1763）公式提供了这些解决方案之一：$\mathbb{P}(X=x|Y=y)$ ý ∈ Ý P（X = X ，ÿ ∈ 甲）= ∫ 甲 P（X = X | Ý = Ý ）˚F Ý（Ý ）d $x\in\mathcal{X}$$y\in\mathcal{Y}$

$$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$$ σ Ý P（X = X | Ý = Ý ）= P（X = X ）˚F ÿ | X = x（y $\sigma(\mathcal{Y})$$\sigma$$Y$ σ （Ý $$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$$ 尽管在中的零度量集上任意定义的版本也有效。$\sigma(\mathcal{Y})$

关于概率等于0的孤立假设的条件概率的概念是不允许的。对于我们可以得到的概率分布[纬度]上，只有当我们认为这圆作为整个球形表面上子午线圈与所述给定磁极的分解的元件的子午圈 -  安德烈洛夫

如Borel-Kolmogorov悖论所示，给定可能取的特定值 ，条件概率分布 没有精确的含义，不仅因为事件的度量为零，这还因为可以针对无限范围的代数将此事件解释为可测量的。 Y P（X = x | Y = y 0）{ ω $y_0$$Y$$\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$$\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$$\sigma$

注意：这是一个更正式的介绍，摘自陶德（Terry Tao）博客上的概率论评论：

定义9（分解）令为范围的随机变量。崩解的基本样品空间相对于是一个子集 的充分程度的在（因此几乎肯定），加上一个概率测度的分配上的子空间的 对于每个，从映射- [R （- [R '，（μ ÿ ）ý ∈ [R '）Ω ý - [R ' - [R μ ý ý ∈ [R ' P（| Ý = Ý ）Ω Ŷ：= { ω ∈ Ω ：Ý （ω ）= ÿ } Ω ÿ ∈ [R Ý ↦ P（˚F | ÿ $Y$$R$$(R', (\mu_y)_{y \in R'})$$\Omega$$Y$$R'$$R$$\mu_Y$$Y \in R'$${\bf P}(|Y=y)$$\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$$\Omega$$y \in R$F P（F ）= E P（F | Y ）P（F | Y ）P（F | Y = y ）Y = $y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$对于每个事件都是可测量的，因此对于所有此类事件，其中是（几乎确定定义的）随机变量，每当时，其均定义为等于。$F$

$$\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$$ ${\bf P}(F|Y)$${\bf P}(F|Y=y)$$Y=y$

考虑到这种分解，我们可以通过将替换为子空间 （使用诱导的代数）来替换 任何的事件，但替换潜在的概率测度和。因此，我们可以将事件和无条件变量设置为该事件的条件，以在条件空间上创建条件事件和随机变量 ，从而产生条件概率$Y=y$$y \in R'$$\Omega$$\Omega_y$$\sigma$${\bf P}$${\bf P}(|Y=y)$$F$$X$$(F|Y=y)$$(X|Y=y)$${\bf P}(F|Y=y)$（与该表达式的现有表示法一致）和条件期望（假定在此条件空间中具有绝对可积性）。然后，只要设置为（几乎确定定义）等于随机变量。${\bf E}(X|Y=y)$${\bf E}(X|Y)$Y = ${\bf E}(X|Y=y)$$Y=y$

我将给出一个草图，说明当是连续的并且是离散的时，这些块如何组合在一起。$Y$$X$

混合接缝密度：

$$f_{XY}(x,y)$$

边际密度和概率：

$$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$$

$$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$$

条件密度和概率：

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$$

贝叶斯规则：

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$$

当然，处理概率的现代，严格方法是通过量度理论。有关精确的定义，请参见西安的答案。

需要注意的是维基百科的文章实际上使用了如下定义： 也就是说，将结果视为密度，而不是概率。因此，我想对了，当为连续且离散时，是未定义的，这就是为什么在这种情况下，我们只考虑上的概率密度的原因。 P（X=x|Y=y）XY

$$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$$ $P(X=x|Y=y)$$X$$Y$$X$

编辑：由于对表示法的混淆（请参阅评论），以上内容实际上是指穴居人所问的相反情况。