泊松分布数据的逻辑回归

从一些机器学习笔记中讨论了一些区分性分类方法，特别是逻辑回归，其中y是类标签（0或1），而x是数据，据说：

如果$x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$，并且$x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$，则$p(y|x)$将是逻辑对数。

为什么会这样呢？

$Y$对于任何给定的X值，Y都有两个可能的值$X$。根据这些假设，

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

和

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

因此（这是贝叶斯定理的一个小例子），以为条件的的机会是后者的相对概率，即$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

哪里

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

和

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

那确实是标准的逻辑回归模型。