基于字符串长度和可能字符的简单组合/概率问题

假设“完全随机”，并给出一个长度为20个字符的字符串，其中每个字符可能是62个可能的字符之一：

• 总共可能有多少种组合？（将20乘以62的幂。）
• 另外，如果新的字符串是一个接一个地随机选择的，并添加到到目前为止选择的字符串列表中，那么在选择已经选择的字符串之前，必须选择多少个字符串的比例低于1到100000（）？$10^{-5}$

注意： 62来自：数字（0-9），大写字母（AZ）和小写字母（az）。

可能性总数

1）关闭！第一个字符有62个选择，第二个字符有62个选择，依此类推，因此最终得到，这是一个非常大的数字。$62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$

与“目标”字符串的碰撞

2）如上文所述，有潜在字符串。您想知道要猜测“目标”字符串的100,000几率中有多于1的可能性。本质上，您是在问要弄清楚它，您必须四舍五入x（或加一个，如果它们完全相等），但是正如您稍后会看到的那样，这并不重要。$62^{20}$

$$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$$

通过基本代数，我们可以将其重新排列为

$$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$$

进行数学计算，约为，因此让我们将整个事情称为或更简洁地说，是很多。$6.2^{20}$$7 \cdot 10^{15}$$7 \cdot 10^{30}$

当然，这就是为什么长密码确实能很好地工作的原因：-)对于真正的密码，您当然要担心长度小于或等于20的字符串，这会增加更多的可能性。

列表中的重复项

现在，让我们考虑另一种情况。字符串是随机生成的，我们想确定在两个字符串匹配的可能性为1：100,000之前可以生成多少个字符串。这个问题的经典版本称为生日问题（或“ Paradox”），询问n个人中的两个人生日相同的概率。Wikipedia文章[1]看起来不错，并且有一些表可能对您有用。不过，我也会在这里尝试提供答案。

注意事项：

-匹配和不匹配的概率之和必须为1，因此，反之亦然。$P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$

-对于两个独立事件和，的概率。$A$$B$$P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$

为了得到答案，我们将从计算固定数目的字符串看不到匹配的概率开始。一旦我们知道该怎么做，就可以将该方程设置为等于阈值（1 / 100,000）并求解。为了方便起见，我们将可能的字符串数（）称为$k$$k$$N$$62^{20}$

我们将“遍历”列表，并计算 ^ {th}字符串与列表中“上方”的任何字符串匹配的概率。对于第一个字符串，我们总共有个字符串，并且列表中没有内容，因此。对于第二个字符串，总共仍有个可能性，但是第一个字符串已“用尽”一个可能性，因此该字符串匹配的可能性为对于第三个字符串，有两种匹配方式，因此不匹配，因此，依此类推。一般而言，$k$$N$$P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$$N$$P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$$N-2$$P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$$k$第个与其他字符串不匹配的字符串为

$$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$$

但是，我们希望字符串中的任何一个都不匹配的可能性。由于所有事件都是独立的（针对每个问题），因此我们可以将这些概率相乘，如下所示： 可以简化一下： 第一步只是将分数相乘，第二步使用阶乘（）替换以下产品$k$

$$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$$ $$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$$ $k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$$N-k+1 \cdots N$则更易于管理，最后一步交换为二项式系数。这为我们提供了一个方程，用于在生成字符串之后根本不匹配的概率。理论上，您可以将其设置为并求解。在实践中，要回答这个问题将很困难，因为您将要乘以/除以大量数字–阶乘的增长非常快（的长度超过150位）。$k$$\frac{1}{100,000}$$k$$100!$

但是，对于计算阶乘和整个问题都有近似值。本文[2]建议，其中p是看不到匹配项的概率。他的测试最多可以得到，但在那里仍然相当准确。插入您的数字，我得到大约。

$$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$$ $N=48,000$$3.7 \cdot 10^{15}$

参考文献

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Mathis，Frank H.（1991年6月）。“一个广义的生日问题”。SIAM评论（工业和应用数学协会）33（2）：265–270。JSTOR链接