一个相反的生日问题：100万外国人中没有一对人有一个生日。他们的年长是多少？

假设一个行星的天非常长。一个房间里有一个聚会，有100万外国人，而且根本没有一个人过生日。关于的大小可以推断出什么？$N$$N$

（这个更紧凑的问题取代了措辞不佳的问题。）

假设所有生日的可能性均等且生日是独立的，则外星人不共享生日的机会为$k+1$

$$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$$

如果远小于N，则它的对数可以渐近求和：$k$$N$

$$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$$

为确信Ñ大于某个值不低于Ñ *，我们需要（1 ）为大于日志（1 - α ）。小α确保Ñ远大于ķ，从那里我们可近似（1 ）精确地为- ķ 2 /（2 Ñ ）。这产生$100-100\alpha\%$$N$$N^{*}$$(1)$$\log(1-\alpha)$$\alpha$$N$$k$$(1)$$-k^2/(2N)$

$$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$$

暗示

$$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$$

对于小。$\alpha$

例如，对于如在问题和α = 0.05（对应于常规值95 ％的置信度）， （2 ）给出Ñ > 10 13。 $k=10^6-1$$\alpha=0.05$$95\%$$(2)$$N \gt 10^{13}$

这是对该结果的更广泛的解释。在不近似于公式，我们获得N ＝9.74786 × 10 12。对于这种Ñ在一百万的生日没有碰撞的几率p （10 6 - 1 ，9.74786 × 10 12）= 95.0000 ... ％（无近似计算的），基本上等于我们的阈值95 ％。因此，对于任何一个如此大或更大的N，其95 $(2)$$N=9.74786\times 10^{12}$$N$$p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$$95\%$$N$$95\%$或者更可能会出现没有冲突，这与我们所知道的是一致的，但对于任何较小碰撞的机会获得上述100 - 95 = 5 ％，这开始让我们担心的是我们可能低估ñ。$N$$100 - 95= 5\%$$N$

再举一个例子，在传统的生日问题中，k = 6个人中没有碰撞的可能性为，k = 7个人中没有碰撞的可能性为5.6 ％。这些数字表明N应该分别在正确值366的范围内超过360和490。这表明即使很小的k（假设我们坚持小α），这些近似的渐近结果也可以达到多么精确的精度。$4\%$$k=6$$5.6\%$$k=7$$N$$360$$490$$366$$k$$\alpha$