假设所有生日的可能性均等且生日是独立的,则外星人不共享生日的机会为k + 1
p (k ; N)= 1 ( 1 − 1ñ)( 1 − 2ñ) ⋯( 1 − kñ)。
如果远小于N,则它的对数可以渐近求和:ķñ
日志(p (k ; N))= − k (k + 1 )2 N− k + 3 k2+ 2 千312 N2− O (k4ñ− 3)。(1)
为确信Ñ大于某个值不低于Ñ *,我们需要(1 )为大于日志(1 - α )。小α确保Ñ远大于ķ,从那里我们可近似(1 )精确地为- ķ 2 /(2 Ñ )。这产生100 - 100 α %ññ∗(1 )日志(1 - α )αñķ(1 )− k2/(2N)
− k22 N> 日志(1 - α ),
暗示
ñ> − k22个日志(1 - α )≈ ķ22个α= N∗(2)
对于小。α
例如,对于如在问题和α = 0.05(对应于常规值95 %的置信度), (2 )给出Ñ > 10 13。 k = 106− 1α = 0.0595 %(2 )ñ> 1013
这是对该结果的更广泛的解释。在不近似于公式,我们获得N =9.74786 × 10 12。对于这种Ñ在一百万的生日没有碰撞的几率p (10 6 - 1 ,9.74786 × 10 12)= 95.0000 ... %(无近似计算的),基本上等于我们的阈值95 %。因此,对于任何一个如此大或更大的N,其95 %(2 )ñ= 9.74786 × 1012ñp (106- 1 ,9.74786 × 1012)= 95.0000 … %95 %ñ95 %或者更可能会出现没有冲突,这与我们所知道的是一致的,但对于任何较小碰撞的机会获得上述100 - 95 = 5 %,这开始让我们担心的是我们可能低估ñ。ñ100 - 95 = 5 %ñ
再举一个例子,在传统的生日问题中,k = 6个人中没有碰撞的可能性为,k = 7个人中没有碰撞的可能性为5.6 %。这些数字表明N应该分别在正确值366的范围内超过360和490。这表明即使很小的k(假设我们坚持小α),这些近似的渐近结果也可以达到多么精确的精度。4 %k = 65.6 %k = 7ñ360490366ķα