引导程序样本与原始样本完全相同的机会

只想检查一些推理。

如果我的原始样本大小为并且我对其进行引导，那么我的思考过程如下： $n$

$\frac{1}{n}$ 是从原始样本中提取任何观察值的机会。为了确保下一次绘制不是先前采样的观测值，我们将样本大小限制为。因此，我们得到以下模式： $n-1$

\frac{1个}{ñ} \cdot \frac{1个}{ñ - 1个} \cdot \frac{1个}{ñ - 2} \dots \frac{1个}{ñ - （ ñ - 1个 ）} = \frac{1个}{ñ ！} 。

$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} \cdots \frac{1}{n-(n-1)} = \frac{1}{n!}.$

它是否正确？我偶然发现了为什么不能。 $(\frac{1}{n})^n$

— 杰安特
source

我不确定我是否关注您。为什么要“确保下一次抽奖不是先前的样本”？在引导过程中，其想法是进行替换采样。也就是说，您确实希望下一次绘制与您已经绘制的相同。

— gung-恢复莫妮卡

但这是否意味着引导样本与原始样本不同？

— Jayant.M

我不跟着你。您不一定要使引导样本与您的样本相同，您只想将样本视为总体模型。

— gung-恢复莫妮卡

所以我的问题是，引导程序样本与原始样本相同的机会是多少？我对引导程序与示例完全相同感兴趣

— -Jayant.M

对不起，如果我的问题不清楚！

— Jayant.M，

请注意，在每个观察位置（），我们可以选择任何的意见，所以有可能重复采样（保持它们被绘制的顺序），其中是“相同的样本”（即包含所有原始观测值，没有重复；这说明了从头开始的所有订购样本的方式）。 $i=1, 2, ..., n$ $n$ $n^n$ $n!$ $n$

例如，对于三个观测值a，b和c，您有27个可能的样本：

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc

其中的六个分别包含a，b和c。

那么是取回原始样本的概率。 $n!/n^n$

撇开-概率的快速近似值：

考虑到：

\sqrt{2 π} ñ^{ñ + \frac{1个}{2}} Ë^{- ñ} \leq ñ ！ \leq Ë ñ^{ñ + \frac{1个}{2}} Ë^{- ñ}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

所以

\sqrt{2 π} n^{\frac{1}{2}} e^{- n} \leq n! / n^{n} \leq e n^{\frac{1}{2}} e^{- n}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

下限是通常的斯特林近似值（对于较大的，其相对误差较低）。 $n$

[Gosper 建议使用这将产生近似 $n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ 表示此概率，根据您的标准有多严格，该概率在甚至在都可以正常工作。 $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ $n=3$ $n=1$

（回应评论：）在给定的重采样中未得到特定观察的概率为，对于大的，大约为。 $(1-\frac{1}{n})^n$ $n$ $e^{-1}$

有关详细信息，请参阅
为什么每个引导程序样本平均平均包含大约三分之二的观测值？

— Glen_b-恢复莫妮卡
source

谢谢！作为兴趣点，没有在样本中获得特定条目的机会是什么？例如与分配

你给了，有8/27的几率不是一个得到一个样本的

a, b, c

$a,b,c$

a

$a$

— Jayant.M

网站上的其他答案已经涵盖了这一点，但是我已经在上面（简短地）添加了它。

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica）

因此，这是获得样本的概率，该样本是原始样本的排列。相反，获得与原始样本完全相同的序列（因此，相同元素以相同顺序）的概率为

。对？

(\frac{1}{n})^{n}

$(\frac {1}{n})^n$

— DeltaIV

@deltaiv是的，只有

安排是按原始顺序进行的。

n!

$n!$

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica）

即使降低到

，而不仅仅是降低到

，Gosper的逼近方法也不能很好地工作？我认为0.499（对于

）非常近似于0.5，而0.996（对于

）也非常接近1.0。

n = 1

$n=1$

n = 3

$n=3$

n = 2

$n=2$

n = 1

$n=1$

— 卡尔·奥夫·汉弗汉默