为什么beta回归不能在响应变量中正确处理0和1？

通常建议使用beta回归（即具有beta分布的GLM，通常是logit链接函数）来处理响应aka因变量，其取值介于0和1之间，例如分数，比率或概率：结果的回归（比率或分数）在0和1之间。

但是，总是声称一旦响应变量至少等于0或1，就不能使用beta回归。如果是这样，则需要使用零/一膨胀的beta模型，或者对响应进行某种转换，等等。：Beta回归比例数据，包括1和0。

我的问题是：β分布的哪个属性阻止β回归处理精确的0和1，为什么？

我猜这是和不支持beta发行版的原因。但是对于所有形状参数和，零和一个都支持beta分布，只有较小的形状参数的分布在一侧或两侧达到无穷大。也许样本数据使得提供最佳拟合的和都将大于。 $0$ $1$ $\alpha>1$ $\beta>1$ $\alpha$ $\beta$ $1$

这是否意味着在某些情况下，即使使用零/ 一，实际上也可以使用beta回归吗？

当然，即使0和1支持beta分布，准确观察0或1的概率也为零。但是观察其他给定可计数值集合的可能性也是如此，所以这不是问题吗？（参见@Glen_b的评论）。

$\hskip{8em}$

在beta回归的上下文中，beta分布的参数设置不同，但是对于，对于所有，仍应在进行明确定义。 $\phi=\alpha+\beta>2$ $[0,1]$ $\mu$

— 变形虫说恢复莫妮卡
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有趣的问题！除了凯文·赖特（Kevin Wright）提出的观点之外，我没有其他答案。我猜想概率中的精确零和一是病理情况（例如在逻辑回归中），因此没有那么有趣，因为它们不应该发生。

— 蒂姆

@Tim好吧，我不知道它们是否应该发生，但它们确实会经常发生，否则人们不会问如何在beta回归中处理0和1的问题，不会写关于0-的论文和1膨胀的beta模型等。无论如何，我仍然希望比Kevin的答案更详细。人们至少应该解释一下对数似然中这些术语是如何产生的。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

更新：这可能是因为如果支持0和1，则这些点的PDF等于零，这意味着观察这些值的可能性为零。我仍然希望看到一个仔细解释此问题的答案。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica）Monica

因此，当响应变量采用

值时，然后应该使用哪种分布？

[0, \infty)

$[0, \infty)$

— 混淆了

Answers:

因为对数可能性同时包含和，它们在或时是无界的。参见Smithson＆Verkuilen的公式（4），“ 更好的柠檬榨汁机？使用Beta分布因变量的最大似然回归 ”（直接链接至PDF）。 $\log(x)$ $\log(1-x)$ $x=0$ $x=1$

— 凯文·赖特
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谢谢。这是论文的直接PDF链接。我可以看到（4）会在

或

时分解，但我仍然不明白为什么这会在一般事物中发生。

y_{i} = 0

$y_i=0$

y_{i} = 1

$y_i=1$

— 变形虫说莫妮卡（Reonica）Monica

（+1）变形虫，只看pdf：对于每个 Beta分布，

和

处的密度都是

或

。在任何一种情况下，对数似然将是不确定的。等效地，一旦出现单个

或

响应，所有可能性的值就只能是零，无穷大或不确定，并且将存在一组非平凡的Beta参数，对于这些参数，实现了可能性的最小值。因此，排除了实际计算，并且该模型无法识别（严重意义上）。

0

$0$

1

$1$

0

$0$

+ \infty

$+\infty$

0

$0$

1

$1$

— ub

连同@whuber的评论（直到现在我才注意到），这确实可以回答问题。要点是，对于我所询问的参数值，

和

似然率为零。

0

$0$

1

$1$

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

@whuber我感到困惑的原因是，观察到

概率为零，但观察到的概率也为零，例如

（具体来说，让β等于

）。尽管如此，

与模型相一致，但

是没有了，这是因为可能观察到的

是不是零，而是观察的可能性

是...

0

$0$

0.5

$0.5$

α = β = 2

$\alpha=\beta=2$

0.5

$0.5$

0

$0$

0.5

$0.5$

0

$0$

— 阿米巴恢复莫妮卡说，

@amoeba可能性取决于概率密度，而不是概率本身。有时，可以通过考虑每个观测值包括一个微小但有限（而非无限小）间隔的概率（例如，由测量精度确定）来避免该问题，或者通过将Beta分布与非常窄的高斯卷积（消除了零密度和无限密度）。

— whuber

除了其原因来自于实践，从存在的事实和，我会尽量陷害为什么出现这种情况的根本原因答案补充的问题。 $log(x)$ $log(1-x)$

实际上，β分布“通常用于描述概率值的分布”（维基百科）。它是二项式分布的可能趋势的分布，已知观察到随机变量的独立二元绘制。 $p$ $N$

结果，按照我对Beta回归的理解，0和1将直观地对应于（无限）确定的结果。

— 梅杜兹
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