如何计算比率的置信区间？

考虑一个输出在0到1之间的实验。在这种情况下，如何获得该比率应该无关紧要。在此问题的先前版本中对此进行了详细阐述，但为清晰起见，在关于meta的讨论之后被删除。$X_i$

此实验重复次，而n很小（大约3-10）。该X 我被认为是独立同分布的。从这些我们估计平均通过计算平均¯ X，但如何计算相应的置信区间[ ù ，V ]？$n$$n$$X_i$$\overline X$$[U,V]$

使用标准方法计算置信区间时，有时大于1。但是，我的直觉是正确的置信区间...$V$

1. ...应在0到1的范围内
2. ...应随着n的增加而变小$n$
3. ...大约是使用标准方法计算得出的顺序
4. ...通过数学上合理的方法计算

这些不是绝对要求，但我至少想了解为什么我的直觉是错误的。

根据现有答案进行计算

在下文中，从现有的答案所产生的置信区间为比较。$\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$

标准方法（又名“学校数学”）

，σ2=0.0204，因此，99％的置信区间是[0.865，1.053]。这与直觉1相矛盾。$\overline X = 0.959$$\sigma^2 = 0.0204$$[0.865,1.053]$

裁剪（在评论中由@soakley建议）

只需使用标准方法，然后提供作为结果是很容易做到。但是我们可以这样做吗？我尚未确信下限保持不变（-> 4.）$[0.865,1.000]$

逻辑回归模型（@Rose Hartman建议）

$\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

二项式比例置信区间（由@Tim建议）

该方法看起来不错，但不幸的是它不适合实验。只需将结果组合起来，然后将其解释为@ZahavaKor建议的一项大型重复的Bernoulli实验，结果如下：

出来的 5 * 1000的总额。将其送入调整。沃尔德计算器给 [ 0.9511 ，0.9657 ]。这似乎是不现实的，因为在该间隔内没有单个 X i！（-> 3.）$985+986+890+935+999 = 4795$$5*1000$$[0.9511,0.9657]$$X_i$

引导程序（由@soakley建议）

在我们有3125个可能的排列。取$n=5$的排列的中间手段，我们得到[0.91，0.99]。长得不说坏的，但我希望一个更大的区间（ - > 3）。但是，它的每个构造都不得大于[min（Xi），max（Xi）]。因此，对于一个小的样本，它会增加而不是因为增加n（-> 2.）而收缩。这至少是上面给出的示例发生的情况。$\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

首先，要弄清楚，您要处理的不是二项分布，正如您的问题所暗示的那样（您将其称为伯努利实验）。二项式分布是离散的-结果是成功或失败。您的结果是每次运行实验时的比率，而不是随后计算一个汇总比率的一组成功和失败的比率。因此，计算二项式比例置信区间的方法将浪费大量信息。但是您是正确的，将其视为正态分布是有问题的，因为可以获得的CI超出了变量的可能范围。

我建议从逻辑回归的角度考虑这一点。使用比率变量作为结果并没有预测变量，运行逻辑回归模型。截距及其CI将为您提供logit所需的内容，然后您可以将其转换回比例。您也可以自己进行逻辑转换，计算CI，然后转换回原始比例。我的python很糟糕，但是这是在R中可以做到的方式：

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

以下是这些数据的99％CI的上下限：

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

您可能要尝试重新采样/引导。让我们看看您提到的简单案例。

使用0.99、0.94和0.94的3个数据点，您甚至都不需要重新采样，因为您可以列出所有27种可能的排列，找到每种情况的均值，然后对均值进行排序。

$25/27=$$26/27=$

$n$

这里的问题是：如何为置换检验的参数创建置信区间？提供了更多细节，包括一些R代码。

二项式置信区间一直以来都是统计学家争论的主题。您的问题认为比率小于100％，但是如果我们使用100％，则问题变得更加棘手。提出问题的一种有见地的方法是：

在过去的2,000年中，太阳每天都在无休止地升起，明天升起的可能性是多少？

$p=1$

有许多计算这些尾数的方法。我建议您查阅Wikipedia的数学知识，或者，如果您只想找到答案，请搜索像这样的二项式间隔计算器（碰巧也对它背后的数学有更多解释）。

贝叶斯方法：

$B$$B$