谐波均值使相对误差平方和最小

我正在寻找证明谐波均值的参考

$$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

最小化（以）相对误差平方和$z$

$$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$$

为什么需要参考？这是一个简单的演算问题：对于您已将其表述得合理的问题，我们必须假设所有。然后定义函数 然后计算关于z的导数： f'（z）= -2 \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n（1- \ frac {z} {x_i}） 然后求解方程f'（z）= 0给出了解决方案。现在，我们当然必须检查这确实是最小值，以便计算出二阶导数： f''（z）= -2 \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n（0- \ frac1 {x_i}） = 2 \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac1 {x_i}> 0 对于我们使用的最后一个不等式，最后，所有x_i> 0$x_i > 0$

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$$ ˚F '（ż ）= - 2 ⋅ Ñ Σ我= 1（1 - $z$ $$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$$ $f'(z)=0$ $$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$$ $x_i>0$。如果没有这个假设，我们确实有可能冒险找到最大值！

至于参考，可能是https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean 或https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean 或其中的参考。

您可能会指出，这是权重为的加权最小二乘回归。$1/x_i$

为了与引用回复到您寻求找到一个标准的符号连接，，最大限度地减少$\beta$

$$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$$

这是一个具有单个常数回归变量且权重矩阵

$$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$$ $$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$$

我将“ ” 重命名为“ ”（“响应”），要估计的参数是而不是。权重为。它们必须都超过。解决方法是$x_i$$y_i$$\beta$$z$$\omega_i=1/x_i$$0$

$$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$$

QED。

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注释

1. 相同的分析适用于任何正的权重集，提供了谐波均值的通用化和表征它的有用方法。

2. 当在受控实验中将视为固定（而非随机）时，加权最小二乘法的机器将提供置信区间和预测区间等。换句话说，将问题自动设置为该设置将为您提供一种评估谐波均值精度的方法。$x_i$

3. 将谐波均值视为加权问题的解决方案，可以深入了解其性质，尤其是其对数据的敏感性。现在很明显，最重要的贡献者是值最小的贡献者，并且它们的重要性已由权重矩阵量化。$x_i$$W$

参考

Douglas C. Montgomery，Elizabeth A. Peck和G. Geoffrey Vining，线性回归分析简介。 第五版。J. Wiley，2012年。第5.5.2节。