为什么将期望值如此命名？

我知道我们如何获得3.5作为滚动6面模具的期望值。但从直觉上讲，我可以期望每张脸的机会均等为1/6。

那么，掷骰子的期望值是否不应该是1-6之间相等的概率？

换句话说，当被问到“投掷一个合理的6面骰子的预期价值是什么？”这个问题时，人们应该回答“哦，它可以是1-6之间的机会相等。” 相反，它是3.5。
在现实世界中，有人可以直观地解释我在掷骰子时的期望值是3.5吗？
同样，我不希望公式或期望的推导。

想象一下，您在1654年在巴黎，您和您的朋友正在观察基于六面骰子顺序滚动的赌博游戏。现在，赌博已被高度违法，宪兵的破门事件相当频繁，而被绑在一张堆着青翠的桌子上几乎可以肯定地确保了在伊夫堡的悠闲时光。

为了解决这个问题，您和您的朋友必须在最后一次掷骰之前就你们两个之间的赌注达成绅士协议。如果您在下五个骰子中观察到两个六分，他同意向您支付五里弗，如果您掷出两个骰子，您同意向他支付相同的金额，如果这些组合没有出现，您将不采取其他任何行动。

现在，最后一个掷骰数是6，所以您比方说就坐在座位的边缘。这时，全副武装的警卫冲进了书房，逮捕了餐桌上的所有人，人群散去了。

您的朋友认为你们两个之间的下注现在无效。但是，您认为他应该向您支付一定的金额，因为已经有六分之一的金额要付给您。解决你们两个之间的争端的公平方法是什么？

（这是我的预期值的起源解释为呈现在这里和更详细的讨论在这里）

让我们以非严格的方式回答这个公允价值问题。您的朋友应该向您支付的金额可以通过以下方式计算。考虑所有可能的四个骰子。某些套卷（即至少包含六套）将使您的朋友支付约定的金额。但是，在其他组合（即不包含单个六组合的组合）上，您将一无所获。您如何平衡这两种类型的滚动发生的可能性？简单，平均地计算您将在所有可能的投放中支付的金额。

但是，您的朋友（不太可能）仍然可以赢得下注！您必须考虑在剩下的四个骰子中将两个掷入骰子的次数，并平均计算出您将向他支付的所有骰子掷骰数的数量。这是您应该向您的朋友下注的合理金额。因此，您最终获得的金额是您的朋友应支付给您的金额，减去您应该向您的朋友支付的金额。

这就是为什么我们称其为“期望值”。如果您能够模拟同时发生在多个Universe中的事件，则它是您希望获得的平均金额。

很好的问题。比起初看起来要微妙得多。它与随机事件和随机变量（数字，值）有关。您的混淆来自将这两个相关但截然不同的概念混合在一起。

让我们从一个事件开始。从您提出问题的方式来看，您似乎在考虑掷骰子事件的结果。它是随机的，因此您可能会如您所写的那样，以相等的机会获得其六个方面之一。这是一个完美的意义。

该实验的期望值是多少？期望是针对随机变量（值）而非事件定义的。对您来说，骰子上的数字1至6只是区分骰子侧面的方法（在您提出问题的情况下）。假设您改用字母：A，B，C，D，E和F。将数字替换为字母，然后按以下步骤重复您的问题：

换句话说，当被问到“投掷一个合理的6面骰子的预期价值是什么？”这个问题时，应该回答“哦，它可以是A和F之间具有相等机会的任何事物”

现在尝试得出一个期望值。没有定义！

当您定义随机值（例如1到6）时，将显示期望值。将这些值映射到事件空间，例如，您定义A边为1，B边为2，依此类推。现在有6个数字并且可以计算期望值，恰好是3.5。

“每个可能值相等”或“最大可能值”是模式的定义，而不是期望值。

想象我们正在玩掷硬币游戏。每次我扔头，我给你1 美元，每次我扔尾巴，你给我1 美元。从长远来看，您期望赚多少钱或输多少钱？数量相等，抛出它们的概率相等，期望值为零。

之所以叫这个期望值，是因为如果将所有骰子掷骰平均，那么从长远来看，您期望得到这个期望值。期望值与任何单个骰子掷骰都不相关。

从历史的角度来看，该概念似乎出现在不同的国家，所以我认为使用该词是跨语言的相似概念之间的方便融合。

我的起点是极好的 概率和统计符号的最早使用：

期望。1901年，西澳·惠特沃斯著名的教科书《选择与机会》（第五版）使用大号字母E表示期望，但直到很久以后，英国文学中才没有建立期望的象征和微积分。例如，Rietz数学统计（1927）使用符号E并评论说：“变量的期望值是欧洲各个大陆作家广泛使用的概念...”对于欧洲大陆作家E表示“ Erwartung”或“ espérance（编辑注：mathématique）”。

该术语有时“归因于”惠更斯，在惠更斯概率基础中进行了讨论：

惠更斯通常基于期望值。但是，“期望”一词源于范·舒滕（Van-Schooten）对惠更斯论着的拉丁语翻译。惠更斯荷兰语文字的字面翻译更清楚地显示了惠更斯的真正含义以及他的前进方式。

有关Fermat，Pascal的其他详细信息，请参见Expectation和早期概率论者。

有趣的是，比期望值更笼统的概念是位置。因此，期望值的概念具有微妙的含义，有些令人困惑。

合理地质疑3.5与模具的预期结果有什么关系。的回答是，虽然滚动骰子的平均值的结果为3.5，即预期值的概念只表示均值或平均值，并且只在有限的类的功能的期望，即具体的问题这里不包括模切辊结果。换句话说，尽管平均滚动结果为3.5，那又如何呢？的确如此，一个人可以发明一个上下文（在某些替代宇宙中），在该上下文中平均值具有含义，但是，结果支付，结果$ 1 ≥ $\leq 3$$\$1$$\geq 4$ 损失1美元，平均表现也不错，其优势是在这个宇宙中实际有成果。

术语“期望值”和“平均价值”之间的联系受到严格限制的原因似乎是历史性的，而不是语义上正确的，甚至是特别令人信服的。即，在其中计算的期望值与对数据集中的位置表征行为的期望一致的上下文中，仅限于某些数据分布，而不限于其他分布。

统计时刻这一概念支持了这一点是历史性的。众所周知，切比雪夫在1887年给出了达到现代严格标准的中心极限定理的第一个证明。他的论点引入了矩量法。。对于切比雪夫，的第一刻是Borel集的平均值。因此，平均值的概念是正态分布的期望值，即中心极限定理所针对的密度函数$f$ 因此，适用于切比雪夫（Chebyshev 1887）。中心极限定理的优势在于，它成为了将期望值与平均值相关联的括号表达式，而不是更一般的位置度量。

但是，对于其他指标更稳定和/或更能代表该数据的非正常数据分布呢？例如，来自均匀分布的数据的中间值或平均极值比该分布的均值或中位数更准确，更稳定（即精确且收敛速度更快）。对于对数正态分布，例如（对收入数据的大部分处理），数据对数均值的反对数（AKA 几何均值）例如，中等收入数据），而不是数据平均值（例如，平均收入）本身，将更多地表明要插入到该数据中的个人思维（或预期数据）可能作为预期结果。短语“我预计薪水为五位数”说明了这一点。这是实际收入的一个例子。另一个例子，也用于收入计算的帕累托分布（请参阅80/20定律和高收入数据）通常具有不确定的期望值（当 α ≤ 1 α ≤ 1 α > $\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$），这样对于这种分布，将结果预期为预期值将是错误的。在那种情况下，请参阅帕累托分布，中位数，几何平均值和谐波平均值是更好的位置度量，不仅因为要求被删除，而且因为即使也没有太大的变化。更多信息，请参见位于纽曼（Newman）的Shalizi CR的ClausetA。经验数据中的幂律分布。SIAM审查。2009; 51：661-703，和这里。$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$