标准偏差的使用是否建立在正态分布的假设之上？

我想知道标准偏差是否始终基于正态分布的假设。换句话说，如果样本不是正态分布的，那么使用标准偏差应该被认为是错误的吗？

不能。使用标准偏差不具有正态性。

随机变量的方差定义为。只要存在方差，标准偏差也将存在。标准偏差是方差的平方根。$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

您可以随时使用方差或标准差。在无数情况下都会出现差异。$\operatorname{Var}(X)$

尽管对于服从正态分布的特殊情况，仍有特殊的定理，引理等。$X$

取决于正态性的标准偏差的常见用法：

如果服从正态分布，那么有大约95％的概率落在平均值的两个标准差之内。$X$$X$

如果服从正态分布（以及其他几个正态分布），则该说法是正确的，但总体而言并非如此。$X$

不依赖于正态性的方差的常见用法：

设为均值和方差的随机变量。定义X 我为我= 1 ，... ，Ñ为独立随机变量，每个遵循相同分发ë [ X ] = μ 瓦尔（X ）= σ $X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$。$X$

限定样本平均值基于观察为： ˉ X Ñ = $n$

由中心极限定理，朝向与平均值的正态分布的随机变量收敛μ和方差σ $\bar{X}_n$$\mu$。（更准确地说是$\frac{\sigma^2}{n}$收敛于分配给Ñ（0，σ2）作为Ñ→交通∞）。$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

的实际意义是样本均值大型Ñ可被视为正态分布的随机变量，它的方差σ $\bar{X}_n$$n$是X的方差的函数。（回想瓦尔（X）=σ2），且该结果不要求X是正常的。（如果需要降低n才能正常工作$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$在某种意义上更接近于正态分布。）$X$

中心极限定理是一个普遍存在的工具，它使用的方差，不需要X遵循正态分布。$X$$X$

$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$