回归系数的逆变换

我正在使用转换后的因变量进行线性回归。进行了以下转换，以使残差的正态性假设成立。未转换的因变量产生负偏斜，以下转换使其接近正常值：

$$Y=\sqrt{50-Y_{orig}}$$

其中$Y_{orig}$是原始量表上的因变量。

我认为在$\beta$系数上使用一些转换以使其回到原始比例是有意义的。使用以下回归方程，

$$Y=\sqrt{50-Y_{orig}}=\alpha+\beta \cdot X$$

通过固定，我们有$X=0$

$$\alpha=\sqrt{50-Y_{orig}}=\sqrt{50-\alpha_{orig}}$$

最后，

$$\alpha_{orig}=50-\alpha^2$$

使用相同的逻辑，我发现

$$\beta_{orig}=\alpha\space(\alpha-2\beta)+\beta^2+\alpha_{orig}-50$$

现在，对于具有1个或2个预测变量的模型来说，一切工作都很好。逆变换后的系数类似于原始系数，只有现在我可以相信标准误差。问题包括交互项，例如

$$Y=\alpha+X_1\beta_{X_1}+X_2\beta_{X_2}+X_1X_2\beta_{X_1X_2}$$

然后的逆变换与原始比例的逆变换不太接近，我不确定为什么会发生这种情况。我也不确定用于反向转换beta系数的公式是否可以像第三（用于交互项）那样使用。在进入疯狂的代数之前，我想我会寻求建议...$\beta$$\beta$

一个问题是你写了

$$Y=α+β⋅X$$

那是一个简单的确定性（即非随机）模型。在这种情况下，您可以按原始比例对系数进行逆变换，因为这只是一些简单的代数问题。但是，在通常的回归，你只能有 ; 您已将误差项排除在模型之外。如果从变换ý回ý ö ř 我克是非线性的，则可能有一个问题，因为ë （ ˚F （X ）） ≠ ˚F （ È $E(Y|X)=α+β⋅X$$Y$$Y_{orig}$，通常。我认为这可能与您看到的差异有关。$E\big(f(X)\big)≠f\big(E(X)\big)$

编辑：请注意，如果变换是线性的，则由于期望是线性的，因此可以反向变换以获得原始比例系数的估计。

我在这里向您致敬，但是您在树错了树。您不支持转换Beta。您的模型保存在转换后的数据世界中。如果你想要做一个预测，例如，你回来变换Ÿ我，但仅此而已。当然，您还可以通过计算上下限值来获得预测间隔，然后对它们进行反向转换，但是在任何情况下都不会反向转换beta。 $\hat{y}_i$