简化具有相同n和k的所有可能值的组合的总和

有没有办法简化这个方程式？

（ \binom{8}{1个} ） + （ \binom{8}{2} ） + （ \binom{8}{3} ） + （ \binom{8}{4} ） + （ \binom{8}{5} ） + （ \binom{8}{6} ） + （ \binom{8}{7} ） + （ \binom{8}{8} ）

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

或更笼统地说，

\sum_{ķ = 1个}^{ñ} （ \binom{ñ}{ķ} ）

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
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一家冰淇淋店制造无味的冰淇淋，然后添加5种或多种风味浓缩物（香草，巧克力，软糖，薄荷，果酱）中的一种或多种，以创建可在商店中出售的各种冰淇淋。因此，不同口味的数量为

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ 。尝试手动计算口味数量。如需额外的信用，请确定商店。

— Dilip Sarwate 2015年

Answers:

看到

这说

\sum_{ķ = 0}^{ñ} （ \binom{ñ}{ķ} ） = 2^{ñ}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

您可以使用二项式定理证明这一点，其中。 $x=y=1$

现在，对于任何，因此得出 $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{ķ = 1个}^{ñ} （ \binom{ñ}{ķ} ） = 2^{ñ} - 1个

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

在您的情况下，因此答案是。 $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— 巨集
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谢谢。我试图找出所有可能的输入特征集以进行回归，所以我的想法始于统计数据，但我想这个问题本身并不是统计数据。

— Idr 2012年

没问题。请考虑投票和/或接受您认为有帮助的答案:)

— Macro

当然。我也相信你的我应该是k的。

— Idr 2012年

你是对的-固定。

— 2012年

一种简单的查看方法是：您将选择每个元素（1），或不选择（0）。因此，您可以用n位表示所有二进制数：2 ^ n。这等于删除了一项的所有组合，加上删除了两项的所有组合，依此类推.. = C（k / N）的总和。

— Snicolas 2013年

家庭作业？

暗示：

记住二项式定理：

（ X + ÿ ）^{ñ} = \sum_{ķ = 0}^{ñ} （ \binom{ñ}{ķ} ） X^{ķ} ÿ^{ñ - ķ}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

现在，如果您可以找到x和y以便是常数... $x^ky^{n-k}$

— 埃里克
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