在计量经济学中指定函数时，为什么使用自然对数（ln）而不是以10为底的对数的原因是什么？

在计量经济学中指定函数时，为什么使用自然对数（ln）而不是以10为底的对数的原因是什么？

在社会科学的线性回归中，Gelman和Hill写道[1]：

我们更喜欢自然对数（即以为底的对数），因为如上所述，自然对数标度上的系数可以直接解释为近似比例差：系数为0.06时，x的差1 对应于大约6 y的％差异，依此类推。$e$$x$$y$

[1] Andrew Gelman和Jennifer Hill（2007）。使用回归和多层次/层次模型进行数据分析。剑桥大学出版社：剑桥；纽约，第60-61页。

并没有强烈的理由偏爱自然对数。假设我们正在估计模型：

ln Y = a + b ln X

自然（ln）与以10为底的对数（log）对数之间的关系为ln X = 2.303 log X （源）。因此，该模型等效于：

2.303 log Y = a + 2.303b log X

或者，将/ 2.303 = a *：

log Y = a* + b log X

可以估计两种形式的模型，并得出相同的结果。

自然对数的一个小优点是它们的一阶微分比较简单：d（ln X）/ dX = 1 / X，而d（log X）/ dX = 1 /（（ln 10）X）（源）。

有关计量经济学教科书中可以使用任何一种对数形式的资料，请参见古吉拉特语，《计量经济学要点》 2006年第3版，第288页。

我认为使用自然对数是因为在进行利息/增长计算时经常使用指数。

$F(t)=N.e^{rt}$

由于您最终在微积分中获得指数，因此摆脱它的最佳方法是使用自然对数，如果您进行逆运算，自然对数将为您提供达到一定增长所需的时间。

另外，关于对数的好处（不管是自然的还是非自然的）都是可以将乘法转化为加法的事实。

关于为什么复利时我们最终会使用指数的数学解释，您可以在这里找到：http : //en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

基本上，您需要采取限制以获取无限数量的利率支付，这最终是指数的定义

甚至认为，连续时间在现实生活中并未得到广泛使用（您需要按月还款而不是每秒钟一次来偿还抵押贷款。），这种计算通常被定量分析人员使用。

经济学家喜欢使用对数函数形式的回归的另一个原因是经济方面的：系数可以理解为Cobb-Douglas函数的弹性。这一功能可能是经济学家用来分析有关微观经济行为（消费者的偏好，技术，生产功能）和宏观经济问题（经济增长）的最常用的功能。弹性项用于描述变量相对于另一个变量的响应程度。

$e^{-{1\over2}x^2}$

唯一的原因是泰勒展开式可以直观地解释结果。

$$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$$ $\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$是现在的GDP增长率。

$$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$$ $$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$$

$$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$$ $\beta$

经济学家喜欢容易解释的变量。如果插入其他日志库，则可解释性较弱。例如，查看对日志基础10进行的处理：

$$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$$ $\beta$

如果您认为对数的反函数是指数函数（是对数的连续形式），则有充分的理由使用变量的对数变换。一次增长约10％的经济变量可以转换为平均值约为10（加上常数）的变量。您不能使用不同基数的对数转换来做到这一点。