如何用一阶差分变量解释回归？

我有两个时间序列：

1. 代表市场风险溢价（ERP；红线）
2. 由政府债券代理的无风险利率（蓝线）

我想测试无风险利率能否解释ERP。在此，我基本上遵循了Tsay（2010，第3版，第96页）的建议：Financial Time Series：

1. 拟合线性回归模型并检查残差的序列相关性。
2. 如果残差序列是单位根非平稳性，则将因变量和解释变量的第一个差值作为第一个差。

第一步，我得到以下结果：

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

如该图所示，该关系是负的并且是重要的。但是，残差是序列相关的：

因此，我首先要区分因变量和解释变量。这是我得到的：

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

残差的ACF如下所示：

结果看起来不错：首先，残差现在不相关。其次，这种关系现在似乎更加消极。

这是我的问题（您现在可能已经想知道了；-）第一个回归，我将解释为（撇开计量经济学问题）“如果无风险利率上升一个百分点，则ERP下降0.65个百分点。” 实际上，经过一会儿的思考，我将解释第二次回归是相同的（尽管现在下降了0.96个百分点）。这种解释正确吗？我对变量进行了转换只是感觉很奇怪，但是不必更改我的解释。但是，如果这是正确的，为什么结果会改变？这仅仅是计量经济学问题的结果吗？如果是这样，是否有人知道为什么我的第二次回归似乎更好？通常，我总是读到，正确执行操作后，虚假关联会消失。这里，

假设我们有模型 您说这些系数更容易解释。让我们减去

$$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$$ $y_{t-1}$$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$ $$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$$ $\Delta x$$\beta_1$

$$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$$ $\nu_s$

$\epsilon$

由于这些原因，重要的是仅区别由于单位根而导致的非平稳过程，并对所谓的趋势平稳过程使用去趋势。

（单位根会导致序列的方差发生变化，并且实际上会随时间爆炸；但是，该序列的期望值是恒定的。但是趋势平稳过程具有相反的性质。）

一次微分可以消除似乎残留在原始残差中的线性趋势。似乎第一个差分消除了残差中的趋势，您剩下的残差基本不相关。我认为，残差的趋势可能隐藏了ERP和无风险率之间负相关关系的一部分，这就是模型在差异之后显示出更强关系的原因。