PCA和渐近PCA有什么区别？

在1986年和1988年的两篇论文中，Connor和Korajczyk提出了一种建模资产收益的方法。由于这些时间序列通常具有比时间段观察更多的资产，因此他们建议对资产收益的横截面协方差执行PCA。他们称此方法为渐近主成分分析（APCA，这很令人困惑，因为听众立即想到PCA的渐近性质）。

我已经计算出方程，这两种方法在数值上似乎是等效的。渐近性当然是不同的，因为证明了收敛是而不是。我的问题是：有人使用过APCA并将其与PCA相比吗？有具体的区别吗？如果是这样，哪个？$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

绝对没有区别。

标准PCA与C＆K建议的“渐近PCA”之间绝对没有区别。给它起一个单独的名字是很荒谬的。

这是PCA的简短说明。如果将具有行样本的居中数据存储在数据矩阵，则PCA将寻找协方差矩阵特征向量，并将数据投影在这些矩阵上特征向量以获得主成分。等效地，可以考虑一个Gram矩阵。显而易见，它具有完全相同的特征值，并且其特征向量是可缩放的PC。（当样本数少于要素数时，这很方便。）$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

在我看来，C＆K提出的建议是计算Gram矩阵的特征向量，以便计算主成分。好吧，哇。这与PCA不“等效”；它是 PCA。

更令人困惑的是，“渐近PCA”这个名称似乎是指其与因子分析（FA）的关系，而不是PCA！C＆K的原始论文在付费专区之下，因此以下引自Tsay（《金融时间序列分析》），可在Google图书中找到：

Connor和Korajczyk（1988）指出，[个特征数量] [特征矩阵的强特征值-特征向量分析]等同于传统的统计因子分析。$k$$\to \infty$

这实际上意味着，当，PCA提供与FA相同的解决方案。这是有关PCA和FA的易于理解的事实，与C＆K提出的建议无关。我在以下线程中讨论了它：$k \to \infty$

• 是否有充分的理由使用PCA代替EFA？另外，PCA可以代替因子分析吗？
• 在什么条件下PCA和FA会产生相似的结果？

因此，底线是：C＆K决定为标准PCA（也可以称为“渐近FA”）创造术语“渐近PCA”。我会建议不要使用此术语。

通常，当序列很多但样本很少时，会使用APCA。由于您提到的等效性，我不会说APCA比PCA更好或更差。但是，它们的适用时间有所不同。这就是本文的真知灼见：如果更方便，您可以翻转尺寸！因此，在您提到的应用程序中，有很多资产，因此需要很长的时间序列才能计算协方差矩阵，但是现在您可以使用APCA。就是说，我不认为APCA会经常使用，因为您可以尝试使用其他技术（例如因子分析）来降低维度。