两个时间序列之间的关系：ARIMA

给定以下两个时间序列（x，y；见下文），在此数据中长期趋势之间的关系建模的最佳方法是什么？

当作为时间的函数进行建模时，两个时间序列都具有显着的Durbin-Watson检验，而且都不是平稳的（据我所知，这是否意味着它只需要在残差中保持平稳？）。有人告诉我，这意味着我应该先取每个时间序列的一阶差（至少，甚至是二阶），然后才能将一个模型建模为另一个函数，本质上是利用arima（1,1,0 ），arima（1,2,0）等。

我不明白为什么您需要在建模之前就下降趋势。我知道需要对自相关建模，但我不明白为什么需要进行微分。对我而言，似乎通过差分进行的去趋势消除了我们感兴趣的数据中的主要信号（在这种情况下为长期趋势），并留下了高频“噪声”（宽松地使用噪声）。确实，在模拟中，我在一个时间序列与另一个时间序列之间建立了几乎完美的关系，并且没有自相关关系，对时间序列求差使我得到的结果对于关系检测而言是违反直觉的，例如，

a = 1:50 + rnorm(50, sd = 0.01)
b = a + rnorm(50, sd = 1)
da = diff(a); db = diff(b)
summary(lmx <- lm(db ~ da))

在这种情况下，b与a密切相关，但是b具有更多的噪声。对我来说，这表明在检测低频信号之间的关系的理想情况下，差分并不起作用。我了解到，差分通常用于时间序列分析，但是对于确定高频信号之间的关系似乎更有用。我想念什么？

示例数据

df1 <- structure(list(
x = c(315.97, 316.91, 317.64, 318.45, 318.99, 319.62, 320.04, 321.38, 322.16, 323.04, 324.62, 325.68, 326.32, 327.45, 329.68, 330.18, 331.08, 332.05, 333.78, 335.41, 336.78, 338.68, 340.1, 341.44, 343.03, 344.58, 346.04, 347.39, 349.16, 351.56, 353.07, 354.35, 355.57, 356.38, 357.07, 358.82, 360.8, 362.59, 363.71, 366.65, 368.33, 369.52, 371.13, 373.22, 375.77, 377.49, 379.8, 381.9, 383.76, 385.59, 387.38, 389.78), 
y = c(0.0192, -0.0748, 0.0459, 0.0324, 0.0234, -0.3019, -0.2328, -0.1455, -0.0984, -0.2144, -0.1301, -0.0606, -0.2004, -0.2411, 0.1414, -0.2861, -0.0585, -0.3563, 0.0864, -0.0531, 0.0404, 0.1376, 0.3219, -0.0043, 0.3318, -0.0469, -0.0293, 0.1188, 0.2504, 0.3737, 0.2484, 0.4909, 0.3983, 0.0914, 0.1794, 0.3451, 0.5944, 0.2226, 0.5222, 0.8181, 0.5535, 0.4732, 0.6645, 0.7716, 0.7514, 0.6639, 0.8704, 0.8102, 0.9005, 0.6849, 0.7256, 0.878),
ti = 1:52), 
.Names = c("x", "y", "ti"), class = "data.frame", row.names = 110:161)

ddf<- data.frame(dy = diff(df1$y), dx = diff(df1$x))
ddf2<- data.frame(ddy = diff(ddf$dy), ddx = diff(ddf$dx))
ddf$ti<-1:length(ddf$dx); ddf2$year<-1:length(ddf2$ddx)
summary(lm0<-lm(y~x, data=df1))      #t = 15.0
summary(lm1<-lm(dy~dx, data=ddf))    #t = 2.6
summary(lm2<-lm(ddy~ddx, data=ddf2)) #t = 2.6

马特，对于使用不必要的差异结构引起的关注，您说得很对。为了为您的数据找到合适的模型，并在使用ACF为传递函数标识建模过程需要（在这种情况下）适当的差分，以创建固定的替代序列，从而可用于标识关系商店。在这种情况下，对标识的差分要求是X的双差分和Y的单差分。另外，发现双差X的ARIMA滤波器是AR（1）。将此ARIMA滤波器（仅用于识别目的！）应用于两个固定序列，得出以下互相关结构。暗示一个简单的同期关系。。请注意，虽然原始系列展示出非平稳性，但这并不一定意味着在因果模型中需要进行区分。最终模型和最终ACF支持。在关闭最后一个方程式时，除了根据经验确定的水平移动（实际上是拦截变化）之外，

 Y(t)=-4.78 + .192*X(t) - .177*X(t-1) which is NEARLY equal to 

 Y(t)=-4.78 + .192*[X(t)-X(t-1)] which means that changes in X effect the level of Y

最后，请注意建议模型的特征。

Level Shift系列（0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1，.........，1）建议如果不进行处理，模型残差将显示水平在时间周期10 THTH或附近移动，则基于“ -4.10的t检验”，对于前10个残差和最后42个残差之间的公共残差均值的假设检验在alpha = .0002时将很重要。请注意，包含常数可确保残差的总体均值与零BUT的差异不大，这不一定适用于所有子集时间间隔。下图清楚地表明了这一点（假设您被告知要看！）。Actual / Fit / Forecast非常有启发性。统计信息就像路灯柱，有人用它们靠着灯柱，有人用它们来照明。

我也不明白那个建议。相差消除多项式趋势。如果因趋势不同而序列相似，则差异将基本上消除该关系。仅当您希望将去趋势化的组件相关联时，才可以这样做。如果相同的微分阶数导致残差的acfs，看起来它们可能来自包含白噪声的平稳ARMA模型，则可能表明两个序列具有相同或相似的多项式趋势。

以我的理解，微分在互相关函数中给出了更清晰的答案。比较ccf(df1$x,df1$y)和ccf(ddf$dx,ddf$dy)。