非随机伯努利变量的这个随机和的概率分布是多少？

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我试图找到随机分布的变量总数之和的概率分布。这是一个例子：

约翰在客户服务呼叫中心工作。他接到有问题的电话，并设法解决问题。他无法解决的问题，他将其转发给上级。假设他一天接到的电话数量遵循Poisson分布，平均值为。每个问题的难度从非常简单的东西（他绝对可以解决）到非常专业的问题（他都不知道如何解决）不等。假设他将能够解决第i个问题的概率遵循具有参数和的Beta分布，并且与先前的问题无关。他一天解决的电话数量分布如何？ $\mu$ $p_i$ $\alpha$ $\beta$

更正式地说，我有：

为 $Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ $i = 0, 1, 2, ..., N$

其中，和 $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

请注意，目前，我很高兴假设是独立的。我也接受参数和不会相互影响，尽管在实际示例中，当大时，参数和如此，以使得Beta分布在成功率较低时具有更大的质量。费率。但是现在让我们忽略它。 $X_i$ $\mu, \alpha$ $\beta$ $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $p$

我可以计算出，仅此而已。我还可以通过模拟值来了解的分布（看起来像泊松，但我不知道这是否取决于我尝试的和的数量，或者它是否泛化，以及如何推广）可能因不同的参数值而改变）。对这种分布是什么或我如何推导它有任何想法吗？ $P(Y = 0)$ $Y$ $\mu, \alpha$ $\beta$

请注意，我也已在TalkStats论坛上发布了此问题，但我认为这里可能会引起更多关注。谨此致歉，并在此先感谢您的宝贵时间。

编辑：事实证明（请参见下面的非常有用的答案-并感谢那些！），这的确是一个分布，这是我根据直觉和一些模拟猜测得出的，但无法证明。我现在发现令人惊讶的虽然是泊松分布仅依赖于均值的分布，但不受其方差。 $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ $\mathrm{Beta}$

例如，以下两个Beta分布具有相同的均值但具有不同的方差。为了清楚起见，蓝色PDF表示，红。 $\mathrm{Beta}(2, 2)$ $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$

然而，它们都将结果在相同的分布，其对我来说，似乎略微反直觉的。（不是说结果是错误的，只是令人惊讶！） $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$

probability distributions random-variable

— 君士坦丁堡
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N

$N$

N

$N$

您可能会看一下复合泊松（Poisson），但可能需要对0进行一些处理才能使其有用

— Glen_b -Reinstate Monica

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$X_i$ $N$ $X_i = 1$ $X_i = 0$ $1$ $X_i = 1$ $p$ $1$ $p\mu$ 。实际上就是这种情况，我们只需要一个额外的步骤即可到达那里。

$p_i$

P r (X_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{X_{i}} (1 - p_{i})^{1 - X_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{i} = \frac{B (X_{i} + α, 1 - X_{i} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

$\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

P r (X_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$

Y

$Y$

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$

在图中的一个数字示例（带有R）...，垂直线来自模拟，红色点是上面得出的pmf：

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— 内特·波普
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$p_i$ $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $i$
$\mu$ $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
$\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— 亨利
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