指数随机变量的总和遵循Gamma，并与参数混淆

我了解了遵循Gamma分布的指数随机变量的总和。

但是我读到的所有参数化都是不同的。例如，Wiki描述了这种关系，但是不说它们的参数实际上是什么意思？形状，比例，比率，1 /比率？

指数分布： $x$ 〜 $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

伽玛分布： $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

在此设置中，什么？正确的参数化是什么？如何将此扩展到卡方？ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— 埃德温
source

根据经验法则，概率论者倾向于使用表示均值的Gamma分布（即而统计学家则倾向于使用表示平均值为而不是的Gamma随机变量。维基百科描述了这两种约定

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate 2012年

对不起，你是对的。

— 埃德温

有两个提示：1.记得通过维度一致性检查。（例如，该参数是否具有的相同维数，或它的recprocal ...？）2.因为此处的gamma参数是整数，所以使用纯析因数和Erlang分布（为当然是一样的）

x

$x$

— leonbloy 2012年

@edwin因此，请编辑您的问题以更正均值和方差的表达式。

— Dilip Sarwate'5

@DilipSarwate已编辑！

— 埃德温

Answers:

的总和独立伽马随机变量是一个伽玛随机变量。只要所有随机变量都具有相同的第二个参数，第二个参数的含义（标度或标度的倒数）并不重要。这个想法容易延伸到随机变量，其是伽玛随机变量的一种特殊情况。 $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
source

让我感到困惑的是，有些书写的是

，其中

是比率，而另一些书是1 /比率。有一致的表示法吗？除非我看到pdf文件，否则我将不知道它们的含义。

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— 埃德温

如果您认为这令人困惑，请等到遇到正常的随机变量。有至少三种不同的解释的

统计人员使用。

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate'5

大声笑，那简直是毁了想要研究这个主题的无辜灵魂。我个人认为这在作者方面写得很差，同时，我确实同意我需要适应发现错误事物的能力。但是，当我迈着小步时，并不是这样。

— 埃德温

哦，作为另一个问题的答案的作者，我感到失望的是，您认为该答案的写作不佳。非常欢迎提出改进建议。

— Dilip Sarwate'5

我指的不是您的链接。

— 埃德温

比例为（比率）的 iid指数分布之和以形状和比例为（比率）的gamma分布。 $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— 尼尔·G
source

伽马分布由指数分布组成，该指数分布是伽马分布的基础。然后如果我们有，只要所有是独立的。 $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— 哈桑米沙伊
source

我格式化了答案的数学部分。请检查这是否仍然是您要表达的意思。

— 安迪

你的断言

除非你坚持，限定它是不正确

是独立的随机变量。

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate