我不明白二项式的方差

即使问这样一个基本问题，我也感到很愚蠢，但这里有：

如果我有一个随机变量可以取值和，且和，那么如果我从中抽取样本，我将得到二项式分布。 $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

分布的平均值是

$\mu = np = E(X)$

分布的方差为

$\sigma^2 = np(1-p)$

这是我的麻烦开始的地方：

方差由。因为两个可能的结果的平方不改变任何东西（和），所以意味着，这意味着 $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

多余的去哪里？您可能会告诉我，我的统计数据不是很好，所以请不要使用复杂的术语：s $n$

variance binomial

— in
source

如果并且它们是独立的，则。但是更简单的路由是因此因此具有独立性

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— 亨利

Answers:

具有概率和值为和随机变量称为参数为的伯努利随机变量。此随机变量具有假设您有一个来自的大小为的随机样本，并定义一个新的随机变量，则的分布称为二项式，其参数为 $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ 和。二项式随机变量Y的均值和方差由

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
source

这如何回答这个问题，即“多余的n在哪里？”？

— 变形虫说恢复莫妮卡

@amoeba非常感谢您的评论。由于OP无法区分伯努利和二项式随机变量，因此我想提醒他必要的定义以及获得所需表达式的过程。

— LVRao

我只是说，如果您明确指出OP推理中的错误，您的答案将会（根据我的观点）会有所改善。您的答案会得出正确的公式，但不会显示OP出错的地方。

— 变形虫说恢复莫妮卡的时间

@amoeba是的。给一些方向，使他们自己纠正有时也会有所帮助。

— LVRao

验证过程中有两个错误：

1：在第一段具有不同的定义与比较在本文的其余部分。 $X$ $X$

2：在下述条件下〜，。尝试从 $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— 用户名
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如果您想让自己的眼睛流血，我抄写了我毕业时的很多笔记。此特定链接显示E（X）和E（X ^ 2）的派生nutterb.github.io/ItCanBeShown/…–

— 本杰明