ACF和PACF如何识别MA和AR术语的顺序？

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我从事不同的时间序列已经超过2年了。我读过许多文章，其中ACF用于标识MA术语的顺序，而PACF用于标识AR。有一条经验法则，对于MA，ACF突然关闭的延迟是MA的顺序，对于PACF和AR同样。

这是我从PennState Eberly College of Science所读的文章之一。

我的问题是为什么呢？对我来说，甚至ACF都可以赋予AR术语。我需要上述拇指法则的解释。我无法直观/数学地理解拇指法则，为什么-

通常，最好使用PACF来识别AR模型。
通常，最好使用ACF而非PACF来完成MA模型的识别

请注意：-我不需要，但是“为什么”。:)

— Arpit Sisodia
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引用来自OP中的链接：

通常，最好使用PACF来识别AR模型。

对于AR模型，理论上的PACF会“关闭”模型的顺序。短语“关闭”意味着理论上部分自相关在该点之外等于0。换句话说，非零部分自相关的数量给出了AR模型的顺序。所谓“模型阶数”，是指用作预测变量的x的最极端滞后。

...表示为AR（k）的阶自回归是一个多元线性回归，其中在任何时间t上的序列值都是时的值的（线性）函数 $k^{\text{th}}$ $t-1,t-2,\ldots,t-k:$

ÿ_{Ť} = β_{0} + β_{1个} ÿ_{Ť - 1个} + β_{2} ÿ_{Ť - 2} + \dots + β_{2} ÿ_{Ť - ķ} + ϵ_{Ť} 。

$\begin{equation*} y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}y_{t-1}+\beta_{2}y_{t-2}+\cdots+\beta_{2}y_{t-k}+\epsilon_{t}. \end{equation*}$

这个方程看起来像是回归模型，如链接的页面上所示...那么，我们正在做的事情可能是直觉的...

在中国耳语或电话游戏如图所示这里

消息因人与人之间的低声窃听而失真，在红色参与者之后（所有“相似词”，如果您愿意的话，任何真实的词）都将丢失（“ a”条除外）。PACF会告诉我们，一旦考虑了棕色和红色参与者的影响（该行末尾的绿色参与者不会使消息失真），蓝色和黄色参与者的系数就没有贡献。

通过从更远的滞后序列的原点实际获得连续的OLS回归，并将系数收集到一个向量中，很难接近R函数的实际输出。示意地

与电话游戏非常相似的过程-当它的距离越来越远的摘录中发现的实际初始时间序列的信号没有任何变化时，这一点就到了。

MA模型的识别通常最好使用ACF而不是PACF。

对于MA模型，理论上的PACF不会关闭，而是以某种方式向0逐渐减小。MA模型中的ACF模式更为清晰。仅在模型涉及的滞后时，ACF才会具有非零自相关。

时间序列模型中的移动平均项是过去的误差（乘以系数）。

由MA（q）表示的阶移动平均模型为 $q^{\text{th}}$

X_{Ť} = μ + w_{Ť} + θ_{1个} w_{Ť - 1个} + θ_{2} w_{Ť - 2} + \dots + θ_{q} w_{Ť - q}

$x_t = \mu + w_t +\theta_1w_{t-1}+\theta_2w_{t-2}+\dots + \theta_qw_{t-q}$

与 $w_t \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2_w).$

在这里，不是逐步搜索时间跨度的消息相似性，而是噪声的贡献，我将其描绘为随机游走会沿着时间线导致的通常较大的偏差：

这里有多个相互关联的渐进偏移序列，丢弃了中间步骤的任何贡献。这将是涉及的操作的图形：

在这方面，“简历真酷！” 与“娜奥米有游泳池”完全不同。从杂音的角度来看，押韵一直存在到游戏开始。

— 安东尼·帕雷拉达（Antoni Parellada）
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这是一个非常酷的答案，不错的选择（+1）

— Firebug

罗布· 海因德曼（Rob Hyndman）为ARIMA 建议使用这种策略，该策略同时使用pacf和acf来确定订单。我们是否需要事先知道我们必须使用您的答案中描述的策略的哪个系列？谢谢！

— 灰泥

请把我的答案当作有教义的练习。我不是这个话题的专家。

— 安东尼帕雷拉达，

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罗伯特·瑙从杜克Fuqua商学院给的ACF和PACF图如何被用于选择AR和MA订单详细和直观性的解释在这里和这里。我在下面简要概述他的论点。

PACF为什么识别AR顺序的简单说明

可以通过拟合一系列仅从第一个滞后开始并逐步增加更多滞后的AR模型来计算部分自相关。AR（）模型中的滞后系数给出了滞后的部分自相关。在这种情况下，如果部分自相关在某个滞后（如在ACF图中所示）“切断” /停止显着，则表明该滞后不会为模型增加解释力，因此AR阶应为以前的滞后。 $k$ $k$ $k$

更完整的说明也涉及使用ACF来识别MA订单

时间序列可以具有AR或MA签名：

AR签名对应于一个PACF图，该图显示了一个尖锐的截止点和一个衰减较慢的ACF；
MA签名对应于显示锐利截止的ACF图和衰减较慢的PACF图。

AR签名通常与滞后1处的正自相关相关，这表明该序列略有“差异化”（这意味着需要进一步的差异以完全消除自相关）。由于AR术语实现了部分差异（请参见下文），因此可以通过在模型中添加AR术语来解决（因此，此签名的名称）。因此，具有尖锐截止的PACF图（伴随着具有正的第一滞后的缓慢衰减的ACF图）可以指示AR项的顺序。Nau认为如下：

如果差异序列的PACF显示出明显的截止值和/或lag-1自相关为正（即，如果该序列看起来略有“差异化”），则可以考虑在模型中添加一个AR项。PACF截止的滞后时间是AR项的指示数量。

另一方面，MA签名通常与负的第一滞后相关，这表明该序列是“过分差异的”（即，有必要部分抵消差异以获得稳定的序列）。由于MA项可以取消差分顺序（请参阅下文），因此具有MA签名的序列的ACF图表示必要的MA顺序：

如果差异序列的ACF显示出明显的截止值和/或滞后1自相关为负（即，如果该序列看起来略有“差异化”），则可以考虑在模型中添加MA项。ACF截止的滞后时间是指示的MA项数。

为什么AR条款会实现部分差异而MA条款会部分取消先前的差异

以简单的ARIMA（1,1,1）模型为例：

$y_t = Y_t - Y_{t-1}$

$y_t = \phi y_{t-1} + e_t - \theta e_{t-1}$

将定义为滞后/后退运算符，可以这样写： $B$

$y_t = (1-B)Y_t$

$y_t = \phi B y_t + e_t - \theta B e_t$

可以进一步简化为：

$(1-\phi B) y_t = (1-\theta B) e_t$

或等效地：

$(1-\phi B)(1-B) Y_t = (1-\theta B)e_t$ 。

我们可以看到，AR（1）项给了我们项，因此部分地（如果）增加了差分的阶数。此外，如果我们将作为数值变量进行操作（之所以可以这样做是因为它是线性算子），我们可以看到MA（1）项赋予了我们项，从而部分抵消了左侧是原始的差分项。 $(1-\phi B)$ $\phi \in (0,1)$ $B$ $(1-\theta B)$ $(1-B)$

— 乔治·科斯坦扎
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在更高层次上，这是如何理解它。（如果您需要更多的数学方法，我很乐意关注时间序列分析的一些笔记）

ACF和PACF是理论统计构造，就像期望值或方差一样，但是在不同的域上。研究随机变量时出现期望值的方式相同，研究时间序列时出现ACF和PACF的方式相同。

在研究随机变量时，存在一个问题，即如何估计其参数，即矩量法，MLE方法和其他过程和构造的来源，以及检查估计值，其标准误差等。

检查估计的ACF和PACF来自相同的想法，估计随机时间序列过程的参数。有主意吗？

如果您认为您需要一个更符合数学的答案，请告诉我，我将尽力在一天结束之前制作出一些东西。

— 吉尔赫姆·马特（Guilherme Marthe）
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