为什么对于给定的n，比例的标准误差最大为0.5？

当所讨论的比例为0.5时，对于给定的N，比例的标准误差将是最大的，并且该比例的标准误差从0.5开始越小。当查看比例的标准误差的方程式时，我可以看到为什么会这样，但是我无法进一步解释。

除了公式的数学性质之外，还有其他解释吗？如果是这样，为什么估计比例（对于给定的N）在接近0或1时为何不确定性较小？

背景和术语

为了完全清楚我们在讨论什么，让我们建立一些概念和术语。一个很好的比例模型是二元骨灰盒：它包含银色（“成功”）或紫红色（“失败”）上色的球。balls中银球的比例为（但这不是我们将要讨论的“比例”）。 $p$

该骨灰盒提供了一种对伯努利审判进行建模的方法。要获得一种实现，请充分混合球并盲目地将其抽出，并观察其颜色。要获得其他实现，请首先通过返回抽出的球来重新构造盒子，然后将该过程重复预定的次数。实现的序列可以通过其成功计数X来概括。它是一个随机变量，其属性完全由n和决定。的分布称为二项式分布。（实验或“样本”）比例是$n$$X$$n$$p$$X$$(n,p)$$X/n$。

这些数字是各种二项式比例的概率分布的示意图。最值得注意的是一个与无关的一致模式，其中随着从向下移动，分布变得更窄（条形相应地更高）。$X/n$$n$$p$$1/2$

的标准偏差是问题中提到的比例的标准误差。对于任何给定的，此数量只能取决于。我们称之为。通过切换球的角色（将银色的角色称为“失败”而将紫红色的角色称为“成功”），很容易看到。因此，即情况必须很特殊。问题在于在从移到更极端的值（例如$X/n$$n$$p$$\operatorname{se}(p)$$\operatorname{se}(p) = \operatorname{se}(1-p)$$p=1-p$$p=1/2$$\operatorname{se}(p)$$p$$1/2$$0$。

知识与理解

因为每个人都在他们的早期教育中就曾被展示过像这样的人物，所以每个人都“知道”绘图的宽度（以衡量必须随着远离而减小。但是这些知识实际上只是经验，而这个问题则需要更深入的理解。通过对二项分布进行仔细分析，例如300年前的亚伯拉罕·德·莫夫尔（Abraham de Moivre），可以获得这种理解。（它们在精神上类似于我在讨论中央极限定理时所介绍的那些。）但是，我认为，一些相对简单的考虑可能足以使宽度必须在附近最宽。$\operatorname{se}(p)$$p$$1/2$$p=1/2$

简单直观的分析

显然，我们应该期望实验中成功的比例接近。标准错误涉及我们可以合理地假设实际结果会偏离预期的距离。假设在不失一般性的前提下，$p$$X/n$$p$$0$$1/2$$X/n$$p$$pn$$(1-p)n$$p n$$p$$p$$X$$p\times (1-p)n$$X/n$$p(1-p)n/n = p(1-p)$

该结局

$p(1-p)$$p=1/2$$p=0$$p=1$

$p(1-p)$$X$$p(1-p)n$$X$$pn$ $\sqrt{p(1-p)n}$$n$$X/n$$\sqrt{p(1-p)n}/n = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},$$X/n$

考虑函数p（1-p）对于0 <= p <= 1。使用微积分，您可以看到在p = 1/2时它是最大值的1/4。如果您看到这是针对与平方的比例估计值的标准偏差为sqrt（p（1-p）/ n）的二项式，则p = 1/2为最大值。当p = 1或0时，标准误差为0，因为您将始终分别获得全1或全0。因此，当您接近0或1时，一个连续性参数说标准误差随着p接近0或1而接近0。实际上，当p接近0或1时标准误差单调减小。对于大的n，估计比例应该接近于实际值。比例。

$n$

由于比率必须在0到1之间，因此不确定性将受到这些界限的限制。除非平均比率正好在中间，否则这些界限之一将比另一个界限更具限制性。

$p$$\min[\,p\,,1-p\,]$