生成相关的二项式随机变量

我想知道遵循线性变换方法是否可能生成相关的随机二项式变量？

下面，我尝试了一些简单的R语言，它产生了一些相关性。但是我想知道是否有原则性的方法可以做到这一点？

X1 = rbinom(1e4, 6, .5) ; X2 = rbinom(1e4, 6, .5) ;  X3 = rbinom(1e4, 6, .5) ; a = .5

Y1 = X1 + (a*X2) ; Y2 = X2 + (a*X3) ## Y1 and Y2 are supposed to be correlated

cor(Y1, Y2)

— 诺鲁齐安
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Y_{1}

$Y_1$ 和可能是相关的，但它们将不再是二项式的。例如，则因此不能是二项式随机变量。我建议您研究一下多项分布。

Y_{2}

$Y_2$

X_{1} = X_{2} = 1

$X_1 = X_2 = 1$

Y_{1} = 1.5

$Y_1 = 1.5$

Y_{i}

$Y_i$

— knrumsey-恢复莫妮卡

该问题的简短答案是寻找关键字copula，这有助于生成具有固定边距的因变量。

— 西安

通常通过对独立的伯努利变量求和来创建二项式变量。让我们看看是否可以从一对相关的伯努利变量并做同样的事情。 $(X,Y)$

假设是伯努利变量（即和），是伯努利变量。为了确定他们的联合分布，我们需要指定结果的所有四个组合。写我们可以很容易地从概率公理中找出其余部分： $X$ $(p)$ $\Pr(X=1)=p$ $\Pr(X=0)=1-p$ $Y$ $(q)$

Pr ((X, Y) = (0, 0)) = a,

$\Pr((X,Y)=(0,0))=a,$

Pr ((X, Y) = (1, 0)) = 1 - q - a, Pr ((X, Y) = (0, 1)) = 1 - p - a, Pr ((X, Y) = (1, 1)) = a + p + q - 1.

$\Pr((X,Y)=(1,0))=1-q-a, \\\Pr((X,Y)=(0,1))=1-p-a, \\\Pr((X,Y)=(1,1))=a+p+q-1.$

将其代入相关系数的公式并求解，即可得出 $\rho$

\begin{matrix} (1) & a = (1 - p) (1 - q) + ρ \sqrt{p q (1 - p) (1 - q)} . \end{matrix}

$a = (1-p)(1-q) + \rho\sqrt{{pq}{(1-p)(1-q)}}.\tag{1}$

假设所有四个概率均为非负数，这将给出有效的联合分布-并且此解决方案将所有双变量伯努利分布参数化。（当，对于和之间所有在数学上有意义的相关性都有一个解。）当我们对这些变量中的求和时，相关性保持不变-但现在边际分布为二项式和根据需要二项式。 $p=q$ $-1$ $1$ $n$ $(n,p)$ $(n,q)$

例

令，，，我们希望相关性为。到该溶液中是（以及其他的概率大约，，和）。这是来自联合分布的实现的图： $n=10$ $p=1/3$ $q=3/4$ $\rho=-4/5$ $(1)$ $a=0.00336735$ $0.247$ $0.663$ $0.087$ $1000$

红线表示样本的均值，虚线是回归线。它们都接近其预期值。这些点在该图像中被随机抖动以解决重叠：毕竟，二项式分布仅产生整数值，因此会出现大量的重复绘图。

生成这些变量的一种方法是使用选定的概率从进行次采样，然后将每个转换为，每个转换为，每个变成，每个变成。对结果求和（作为向量），以获得一种实现。 $n$ $\{1,2,3,4\}$ $1$ $(0,0)$ $2$ $(1,0)$ $3$ $(0,1)$ $4$ $(1,1)$ $(X,Y)$

码

这是一个R实现。

#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
  rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
  print(prob)
  stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
     pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
     xlab="X", ylab="Y",
     main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)

— ub
source

可以扩展此方法以生成任意数量的二进制变量吗？-拟合给定的相关矩阵（或最大接近以拟合它）？

— ttnphns

@ttnphns是的，但是选项却爆炸了：概率表必须由边际参数，和与统一约束和（因此）附加参数确定。显然，根据您希望创建的多元属性，您将有很大的自由来选择（或约束）那些参数。同样，可以使用类似的方法来生成具有不同“ ”个参数值的相关二项式变量。帕文：我相信“当我们将这些变量中的相加时”会明确解释代表什么。

2^{k}

$2^k$

k

$k$

2^{k} - k - 1

$2^k-k-1$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— ub

这是一个很好的结果。只是在您的第一句话上挑一点。为了从独立的伯努利变量获得二项式，它们是否不需要具有相同的p？这对您所做的工作没有影响，因为这只是您采用该方法的动机。

— Michael R. Chernick

@Michael谢谢您-您说的很对。它与此处概述的方法无关的另一个原因是，该方法仍涉及对具有公共参数的伯努利变量求和：对于所有变量，参数为；对于所有变量，参数为。为了使帖子合理地简短，我没有提供边际分布的直方图来证明它们确实是二项式的（但是我实际上是在我最初的分析中这样做的，只是为了确保它们起作用！）。

p

$p$

X

$X$

q

$q$

Y

$Y$

— ub

@whuber不错的方法！您能否让我知道我可以参考的论文吗？

— T尼克