回归系数的多元正态分布？

在阅读有关回归的教科书时，我遇到了以下段落：

线性回归系数（）向量的最小二乘估计为 $\beta$

$\hat{β} = (X^{t} X)^{- 1} X^{t} y$ $\hat{\beta} = (X^{t}X)^{-1}{X^t}y$
当将其视为数据的函数（将预测变量视为常数）时，它是数据的线性组合。使用中心极限定理，可以证明如果样本量较大，的分布将近似为多元正态。 $y$ $X$ $\beta$

我肯定在文本中缺少某些内容，但是我不明白单个值如何具有分布？如何生成多个值以获得文本中提到的分布？ $\beta$ $\beta$

multiple-regression

— 之上
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β

$\beta$ 是回归系数的向量-可以消除混乱吗？

— 2012年

使用最小二乘法时，您假定是固定的，但未知。但是，是（随机）数据的函数，因此具有分布。渐近分布是正态分布。非渐近地，单个系数将处于分布状态。

β

$\beta$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— 泰勒

可能有助于观察到在回归设置中被视为常数矩阵，而是（向量值）随机变量的实现。但是，关于CLT的说法并不完全正确：它要么依赖于具有一定的结构，即使具有庞大的数据集，有时也不会实际发生这种情况；或者依赖于本身是多元正态的（但是这样就不必调用CLT）。

H = (X^{t} X)^{- 1} X^{t}

$H = (X^tX)^{-1}X^t$

y

$y$

H

$H$

y

$y$

— ub

@Taylor但是，如果我唯一知道的是“样本量很大”，您如何知道B的分布？

— 2012年

@Taylor仅当回归模型中的误差成分是均值为0且方差恒定的高斯时，βvactor的各个分量才具有分布。在非正常情况下，您不一定会知道原假设下的分布，但它可能仍是渐近正态的。然而，正如胡布指出的那样，中心极限定理可能不成立，因为它是加权平均值，我们需要知道，权重不会随样本数量的变化而变化，这种方式允许几个项主导总和。

— Michael R. Chernick

如Taylor，不是具有分布，而是。的分布源于以下事实：对于不同的样本，您获得不同的。---您可以基于从单个样本接收到的单个来估计此分布，前提是您有一些有关基础数据分布的信息。 $\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$

— 用户3451767
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