计算带漂移的随机游走最大回撤的累积分布

我对随机游走的最大跌幅的分布感兴趣：令，其中。周期后的最大为。由A纸张Magdon-伊斯梅尔等。等 给出具有漂移的布朗运动的最大衰减的分布。该表达式涉及一个无限和，其中包括一些仅隐式定义的术语。我在编写收敛的实现时遇到问题。有谁知道CDF的替代表达或代码中的参考实现？$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

这是一个交替的总和。每对相继几乎抵消；这样的对和最终最终单调减少。

然后，一种方法是成对计算总和，其中$n$ = {1,2}，{3,4}，{5,6}等（这样做也消除了很多浮点误差。）更多技巧可以帮助：

（1）为正常数\ alpha求解$\tan(t) = t / \alpha$，要搜索的一个很好的起始值-和最大n ^ \ text {th}个根的极好的近似值是t = （n + 1/2）\ pi-\ frac {\ alpha} {（n + 1/2）\ pi}。我怀疑牛顿-拉夫森应该做得很好。$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

（2）在少数初始项之后，对的总和开始非常非常一致地减小大小。指数间隔对的绝对值的对数几乎呈线性下降。这意味着您可以在极少量的已计算对和中进行插值，以估算所有未计算的对和。例如，通过仅计算对（2,3），（4,5），（8,9），（16,17），...，（16384、16385）的值并构造这些值的插值多项​​式（被认为是函数1，2，...，14的值），并使用参数$h = \mu = \sigma = 1$，对于最坏的情况，我能够达到六位数的精度。（更好的是，误差以符号形式振荡，这表明内插值总和的精度可能比六个数字好很多。）您可以通过在这些值的末尾进行线性外推来估计极限求和的精度。转换为幂定律）并将外推函数整合到无穷大。要完成此示例计算，您还需要第一项。仅求和29个计算项，就可以得到六位数的精度。

（3）注意，函数实际上取决于和，而不是独立地依赖于所有这三个变量。对的依赖性很弱（应该如此）；您可能会满足于在所有计算中固定其价值。$h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

（4）最重要的是，考虑使用一些序列加速方法，例如Aitken方法。有关这些问题的详细说明，请参见《数字食谱》。

添加

（5）您可以用整数来估计总和的尾部。写，方程（其中）可以求解为，它很小，然后为代入。在展开泰勒级数的切线可得出近似解$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$

其中。$z = (n + 1/2)\pi$

假设足够大，则指数因子的形式为变得非常接近1，因此您可以忽略它们。通常，即使对于很小的这些项也可以忽略不计，因为是，这使得第一个指数非常快地变为零。（一旦大大超过就会发生这种情况。如果可以，请对大计算！）$n$$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

使用表达式将和的项求和，就可以使它们近似（一旦所有烟雾清除）为$\theta_n$$n$$n+1$

$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$

替换起始于总和通过在一个积分起始于近似于尾巴。（积分必须乘以的公因子。）积分的误差为。因此，要获得三个有效数字，通常将需要计算总和中大约八项左右的项，然后加上该尾部近似值。$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

您可能首先查看fBasics中的缩编分布函数。因此，您可以轻松地模拟漂移的布朗运动并将这些功能作为起点。