单位根的直观解释

在单位根测试的上下文中，您将如何直观地解释什么是单位根？

我在想一种解释方式，就像我在这个问题上已经建立的那样。

关于单位根的情况是，我知道（顺便说一句）单位根测试用于测试时间序列中的平稳性，仅此而已。

您将如何向外行人或学习过非常基本的概率和统计学课程的人解释它？

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我接受了胡布的回答，因为这最能反映我在这里提出的要求。但是我敦促所有来这里的人也阅读帕特里克和迈克尔的答案，因为它们是理解单位根的自然的“下一步”。他们使用数学，但是以非常直观的方式。

他刚来桥。没看他要去​​哪里，他就绊倒了一些东西，冷杉球果从他的爪子中猛扑到河里。

“妈妈，”小熊维尼缓缓漂浮在桥下，说道，他回去又得到了一个带有韵律的冷杉球果。但是后来他以为自己会只看河，因为那是和平的一天，所以他躺下来看着河，河慢慢滑到了他的下面。。。突然，他的冷杉球果也滑落了。

“好笑，”维尼说。小熊维尼说：“我把它放到另一侧，它就从这边出来了！我想知道它还会再来吗？”

AA Milne，《维尼角落的房子》（第六章，维尼发明了一种新游戏，而绒毛也加入其中。）

这是沿水表面流动的图片：

箭头表示流向，并通过流线连接。 冷杉球果将趋向于沿着其下落的流线。但是，即使将它放在溪流中的同一位置，它也不总是每次都以相同的方式进行操作：由于水，风和其他自然奇观的湍流，沿其路径随机变化会把它踢到附近流线。

在这里，冷杉球果掉落在右上角附近。它或多或少地遵循着流线-汇合并向下流向左-但沿途几乎没有走弯路。

“自回归过程”（AR过程）是一系列数字，其行为被认为类似于某些流程。二维图示对应于一个过程，在该过程中，每个数字均由其两个先前的值确定-加上一个随机的“绕道”。通过将序列中的每个连续对解释为流中某个点的坐标来进行类比。溪流一瞬间又一瞬间地改变了AR锥体给出的数学方式，从而改变了圆锥锥的坐标。

通过写入冷杉球果占据的每个点的坐标，然后擦除每组坐标中除最后一个数字以外的所有数字，我们可以从基于流程的图片中恢复原始过程。

自然-尤其是溪流-比对应于AR过程的水流更丰富，更多样化。因为假定序列中的每个数字都以相同的固定方式依赖于其前身（除了随机绕行部分之外），所以说明AR流程的流程显示出有限的模式。正如这里所看到的，它们确实确实看起来像溪流一样。它们也可能看起来像是在排水管周围旋转。流动可以反向发生，似乎从排水管向外喷涌。它们看起来就像是两股溪流的嘴撞在一起：两种水源彼此直接流动，然后分流到两侧。就是这样。譬如说，你不可能有涡流向两侧流动。为此，AR流程太简单了。

在这种流动中，尽管视锥细胞的位置发生了轻微的随机变化，但它却在右下角掉落并迅速带入右上角的涡流中。但是由于这些相同的随机运动使它从遗忘中解救出来，所以它永远不会停止运动。冷杉球果的坐标略微移动-实际上，可以看到它们总体上围绕涡流中心的坐标振荡。在第一股溪流中，坐标不可避免地沿着溪流中心前进，它迅速捕获了圆锥体，并以比其随机绕道慢下来的速度更快地将圆锥体带走：它们随时间变化。 相比之下，在涡旋周围盘旋代表平稳捕获冷杉球果的过程；顺着小溪流下来，其中视锥流（趋势）不固定。

顺便提及，当AR过程的流程向下游移动时，它也会加速。 随着锥体沿其移动，它变得越来越快。

AR流程的性质由几个特殊的“特征”方向决定，这些方向通常在流程图中显而易见：流线似乎朝这些方向汇聚或来自这些方向。在AR过程中，总是可以找到与系数一样多的特征方向：在这些插图中，有两个。与每个特征方向相关的是一个数字，即其“根”或“特征值”。当数字的大小小于1时，该特征方向上的流向中心位置。当根的大小大于1时，流会加速远离中心位置。$1$-由影响圆锥体的随机力主导。这是“随机漫步”。圆锥体可以缓慢漂移，但不会加速。

（有些图在其标题中显示了两个根的值。）

即使是小脑袋小熊维尼（Pooh）也将认识到，只有当所有水流都朝向一个涡流或漩涡时，水流才会捕捉到他的冷杉球果。否则，在那些随机绕道中的一个上，圆锥体最终会在那部分流动的影响下发现自己，其根部的大小大于，因此它将在下游徘徊并永远消失。因此，当且仅当所有特征值的大小均小于1时，AR过程才能停止。$1$

经济学家也许是时间序列的最伟大分析者，也是AR过程技术的雇主。他们的一系列数据通常不会加速消失。因此，他们仅关注是否存在一个特征方向，其值的大小可能等于：“单位根”。知道数据是否与这样的流程一致，可以告诉经济学家有关维尼熊棒的潜在命运的很多信息，即未来的情况。这就是测试单元根的重要性。维基百科上的一篇很好的文章解释了其中的一些含义。$1$

小熊维尼和他的朋友们发现了平稳性的经验检验：

现在有一天，小熊维尼和小猪在一起，小兔子和鲁也在一起玩。当兔子说“去！”时，他们放下了棍子。然后他们急忙跨过桥的另一边，现在他们都斜倚在边缘，等着看谁的棍子先出来。但是那是一段漫长的时间，因为那天那条河很懒，而且似乎根本不在乎它是否根本没有到达过那里。

“我可以看到我的！” Roo哭了。“不，我不能，那是别的东西。小猪，你能看到你的吗，小猪？我以为我可以看到我的，但我看不到。那里！不，不是。你可以看到你的，小熊维尼？ ”

“不，”维尼说。

“我希望我的棍子被卡住，” Roo说。“兔子，我的棍子被卡住了。小猪，你的棍子被卡住了吗？”

兔子说：“它们花费的时间总是比您想象的要长。”

1928年的这段话可以解释为第一个“ Unit Roo测试”。

想象一下两个流程：$AR(1)$

• 流程1：$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• 流程2：$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• Ñ （0 ，1 $\epsilon_i$来自$N(0,1)$

进程1没有单位根。进程2具有单位根。您可以通过根据迈克尔的答案计算特征多项式来确认这一点。

假设我们从零开始两个过程，即。现在想象一下，当我们有“好运行”正ε时会发生什么，并想象两个过程都达到。v 10 = $v_1 = 0$$v_{10} = 5$

接下来发生什么？我们期望序列去哪儿？

我们期望。因此，我们希望处理1的情况具有，，等。$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

但是我们希望流程2的，，等等。$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

因此，一个直觉是，当“好运或坏运”推动一个以单位为根的过程时，历史的好运或坏运将序列“卡在位置”。它仍然会随机移动，但是没有“强制返回”的内容。另一方面，当没有单位根并且过程没有爆炸时，过程上会有一个“力”，这将使过程漂移回到原来的位置，尽管随机噪声仍然会使其稍微有些震荡。

“卡住”可以包括未阻尼的振荡，一个简单的例子是：。这会从正到负来回跳动，但振荡并非注定要爆发到无穷大或衰减到零。您可以获得更多形式的“卡住”，包括更复杂的振荡。$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

考虑一阶自回归过程 ，其中是白噪声。该模型还可以用一侧的所有表示为

使用后移运算符我们可以将模型紧凑地重新表达为或等价地为 特征多项式为。它的根（唯一）为。然后，对于我们有一个平稳的过程，对于我们有一个爆炸性的非平稳过程。对于我们有一个非平稳的随机游动，单位根。因此，单位根形成平稳性与非平稳性之间的边界。的$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$