X和XY之间的相关性

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如果我有两个独立的随机变量X和Y，那么X与乘积XY之间的相关性是什么？如果这是未知的，那么我很想知道至少在X和Y为零且均值为零的正常情况下会发生什么，如果这样更容易解决。

correlation

— 罗伯托
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是什么激发了这个问题？我想知道如果我们在这里也解决其他问题，那将是最好的。您是否出于某种原因进行了创建XY变量的研究？

— gung-恢复莫妮卡

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解

我认为一种有效的解决方案将是一种表达变量（如果可能）的相关性（如果可能）的变量和的单独属性。计算相关性将涉及计算和中单项式的协方差。一次完成所有操作很经济。 只需观察到 $X$ $Y$ $X$ $Y$

当和是独立的，而和是幂时，则和是独立的； $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
对自变量的乘积的期望是其期望的乘积。

这将根据和的矩给出公式。 $X$ $Y$

这里的所有都是它的。

细节

写入等。因此，对于计算有意义并产生有限数字的任何数字， $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

请注意，任何随机变量的方差都是其与自身的协方差，因此我们不必对方差进行任何特殊的计算。

现在很明显，如何计算涉及单项式，任何幂，任何数量有限的独立随机变量的矩。作为应用程序，将此结果应用于相关性的定义，即协方差除以方差的平方根：

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

如果希望将其与原始变量的期望，方差和协方差相关联，可以选择多种代数简化形式，但是在此处进行实施将无法提供更多的见解。

— ub
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使用和的总协方差和独立性定律，使用总方差定律和独立性注意 $X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$ 可以在上述任何内部条件期望，方差或协方差中视为常量。

根据上述协方差和方差，经过一些代数运算，相关性可以很好地表达为两个变量系数，即

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

通过仿真检查此结果：

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— 贾勒·图夫托
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很好，但是我想指出两点：1.在第二组方程的第三行上，是否应该有一个括号，如？2.您确定提出该问题的人是否遵循不同步骤背后的推理？例如，是这样的，因为是给定的。对于某些步骤，我建议提供一个最低限度的解释。

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$

— 安东尼·帕雷拉达

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是的，我添加了一些缺少的括号和一些解释。我不得不承认我更喜欢@whuber的答案。

— Jarle Tufto

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在X和Y是具有零均值的随机变量的特定情况下，因为。因此 $\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— 克莱杜
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X和XY之间的线性相关为：

Corr（X，XY）= Cov（X，XY）/ sqrt（var（X）* var（XY））

Cov（X，XY）=求和（（X-均值（X））（XY-均值（XY））/ n

n-样本量；var（X）= X的方差；var（XY）= XY的方差

— 山姆·格拉迪奥
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1

问题是关于随机变量，而不是数据。

— ub

我们如何找到2个随机变量是否相关？通过数据才对。如我错了请纠正我。道歉。

— 山姆格拉迪奥

理论上是利用随机变量的数学特性来计算相关性。与使用桥梁和测试桥梁相比，使用牛顿力学原理计算桥梁设计的强度几乎是同一回事：理论和数据具有不同的作用，不应将它们相互混淆。。

— ub