二项式随机变量样本均值的标准误

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假设我正在运行一个可能有2个结果的实验，并且我假设2个结果的基本“真实”分布是参数和的二项式分布：。 $n$ $p$ ${\rm Binomial}(n, p)$

我可以根据的方差形式计算标准误差：其中。因此，。对于标准错误，我得到：，但是我在某处看到。我做错了什么？ $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ ${\rm Binomial}(n, p)$

σ_{X}^{2} = ñ p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$

q = 1 - p

$q = 1-p$

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$

binomial standard-error

— 坦率
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本文对于了解平均值的影响

— 。influentialpoints.com/ training /…

从我的谷歌搜索看来，获得二项式分布的置信区间的密切相关的主题相当细微和复杂。特别是，看起来从此公式获得的置信区间（即“瓦尔德区间”（Wald Intervals ），请参阅en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval）表现得很差，应该避免。有关更多信息，请参见jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents。

— aquirdturtle

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似乎您以两种不同的方式两次使用了次-既是样本量，又是包含二项式随机变量的bernoulli试验的数量；为了消除任何歧义，我将使用来指代后者。 $n$ $k$

如果您有来自分布的独立样本，则其样本均值的方差为 $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v 一种 [R （ \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世} ） = \frac{1个}{ñ^{2}} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} v 一种 [R （ X_{一世} ） = \frac{ñ v 一种 [R （ X_{一世} ）}{ñ^{2}} = \frac{v 一种 [R （ X_{一世} ）}{ñ} = \frac{ķ p q}{ñ}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

其中和是相同的平均。这是因为 $q=1-p$ $\overline{X}$

（1）， ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ 对于任何随机变量和任何常数。 $X$ $c$

（2）独立随机变量之和的方差等于方差的总和。

的标准误差是方差的平方根： $\overline{X}$ 。因此， $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

当，得到的公式为： $k = n$ $\sqrt{pq}$
当且二项式变量只是bernoulli试验时，您将获得在其他地方看到的公式： $k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— 巨集
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3

当

是bernoulli随机变量时，则

。当

具有基于

具有成功概率

试验的二项式随机变量时，则

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

— Macro

2

谢谢！你解除了我的困惑。抱歉，它太基础了，我仍在学习:-)

— Frank

6

弗兰克（Frank）清楚地知道，我们使用的事实是对于任何常数c Var（cX）= c

Var（x）？由于该比例的样本估计值为X / n，因此我们有Var（X / n）= Var（X）/ n

= npq / n

= pq / n，而SEx是其平方根。我认为，如果我们阐明所有步骤，对于每个人来说都会更清楚。

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

— Michael Chernick 2012年

1

@MichaelChernick，我已经澄清了您提到的细节。根据问题描述，我认为弗兰克知道这些事实，但您说的对，对将来的读者来说，包含这些细节将更具教育意义，这是正确的。

— 2012年

2

Sol Lago-在这种情况下，k = 1。如果您掷硬币50次并计算成功次数，然后重复实验50次，则k = n = 50。掷硬币会导致1或0。这是伯努利rv

— B_Miner 2014年

9

容易混淆两个二项式分布：

成功次数的分布
成功比例的分布

npq是成功次数，而npq / n = pq是成功率。这导致不同的标准误差公式。

— 弗拉德
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6

我们可以通过以下方式查看它：

假设我们正在做一个实验，我们需要将无偏硬币扔次。实验的总结果为，它是各个投掷的总和（例如，头为1，头为0）。因此，对于本实验，，其中是单个掷骰的结果。 $n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

在此，每次抛掷的结果遵循伯努利分布，总体结果遵循二项式分布。 $X_i$ $Y$

完整的实验可以视为一个样本。因此，如果我们重复实验，我们可以获得另一个值，它将形成另一个样本。所有可能值将构成完整的总体。 $Y$ $Y$

回到遵循伯努利分布的单次掷硬币的情况，方差由给出，其中是正面（成功）的概率，。 $pq$ $p$ $q = 1 – p$

现在，如果我们看一下方差，则。但是，对于所有单个伯努利实验，。由于实验中有抛掷或Bernoulli试验，因此。这意味着 $Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ 具有方差。 $Y$ $npq$

现在，将样品比例由下式给出，表示“成功或成功的比例”。在这里，是一个常数，因为我们计划对总体中的所有实验不进行抛硬币。 $\hat p = \frac Y n$ $n$

因此，。 $V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

因此，对于标准误差（样本统计量）是 $\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— 塔拉尚卡
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您可以通过在数学上加上美元来使用Latex排版，例如， $x$ 给

。

x

$x$

— 银鱼

注意，步骤

确实值得证明！

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

— 银鱼

在最后的推论中有错别字，V（Y / n）=（1 / n ^ 2）* V（Y）=（1 / n ^ 2）* npq = pq / n应该是正确的推论。

— Tarashankar

抱歉，我在排版时介绍了这一点。希望现在排序。

— 银鱼

1

X_{i}

$X_i$

2

我认为最初的帖子在标准误差和标准偏差之间也有些混淆。标准差是分布方差的平方根；标准误差是样本估计平均值与该分布之间的标准偏差，即，如果您多次采样该样本，您将观察到的均值分布。前者是分布的固有属性；后者是衡量您对分布属性（均值）的估计质量的度量。当您进行N次Bernouilli试验的实验以估计成功的未知概率时，看到k次成功后您估计的p = k / N的不确定性是估计比例的标准误差sqrt（pq / N），其中q = 1 -p。真实分布的特征在于参数P，即成功的真实概率。

— 斯坦
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