“绝对连续随机变量”与“连续随机变量”？

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在Valentin V. Petrov的《概率论的有限定理》一书中，我看到了分布的定义是“连续的”和“绝对连续的”之间的区别，其定义如下：

$(*)$ “ ... 如果实线的任何有限点或可数点的，则随机变量的分布被认为是连续的。如果Lebesgue的所有Borel集的，则绝对是连续的...” $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

我熟悉的概念是：

$(\#)$ “如果随机变量具有连续的累积分布函数，则它绝对是连续的。”

$\textbf{My questions are:}$ 和关于“绝对连续性”的两个描述是在谈论同一件事吗？如果是，我如何将一种解释翻译成另一种解释？ $(*)$ $(\#)$

谢谢！

probability distributions random-variable

— 田
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stats.stackexchange.com/questions/229556/…讨论了连续但不是绝对连续分布的标准示例，在该示例中将其绘制成图形并提供代码以从中进行采样。

— ub

Answers:

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说明不同：只有第一个 $(*)$ 是正确的。这个答案解释了如何以及为什么。

连续分布

在连续函数的通常意义上，“连续”分布 $F$ 是连续的。一个定义（通常是人们在教育中遇到的第一个人）是，对于每个，对于任何，都存在一个（取决于和），对于该，的邻域上的值会发生变化。距离不超过。 $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

$F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

绝对连续的分布

所有分布函数定义由以下确定的正有限度量 $F$ $\mu_F$

μ_{F} （ （ 一个 ， b] ） = F （ b ） - F （ 一个 ） 。

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

绝对连续性是度量理论的概念。当对于每个可测集合，暗示时，一个度量相对于另一度量（均在同一sigma代数上定义）绝对是连续的。换句话说，相对于，没有为其分配“大”（非零）概率的“小”（零度量）集。 $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

我们将用作通常的Lebesgue测度，其中是间隔的长度。后半部分表示概率测度就勒贝格测度而言，是绝对连续的。 $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

绝对连续性与可微性有关。 一个度量相对于另一度量（在某个点）的导数是一个直观的概念：采用一组可度量的邻域，这些邻域缩小到并比较这些邻域中的两个度量。如果它们始终接近相同的极限，则无论选择什么邻域顺序，该极限都是导数。（存在一个技术问题：您需要约束那些邻域，以使它们不具有“病理”形状。可以通过要求每个邻域占据其所在区域的不可忽略的部分来实现。） $x$ $x$ $x$

从这个意义上讲，微分正好是连续分布概率的定义是什么的问题？正在寻址。

让我们为相对于的导数写。相关定理-这是微积分基本定理的度量理论版本- 断言 $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ 是相对于绝对连续到当且仅当每测集。[鲁丁，定理8.6] $\lambda$
$μ_{F} （ Ë ） = \int_{Ë} （ d_{λ} μ_{F} ）（ X ） d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

换句话说，绝对连续性（相对于为）等效于密度函数。 $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

摘要

当作为函数连续时，分布是连续的：直观上讲，它没有“跳跃”。 $F$ $F$
当分布具有密度函数时（相对于Lebesgue测度），它是绝对连续的。 $F$

实例证明了两种连续性不相等，例如https://stats.stackexchange.com/a/229561/919所述的一种。这就是著名的Cantor函数。对于此函数，几乎到处都是水平的（如其图所示），几乎到处都是零，因此。显然这没有给出正确的值（根据总概率公理）。 $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

注释

实际上，统计应用中使用的所有分布都是绝对连续的，没有连续（离散）或其混合的地方，因此经常忽略连续性和绝对连续性之间的区别。但是，不理解这种区别会导致混乱的推理和错误的直觉，尤其是在最需要严格的情况下：即，当情况令人困惑或不直观时，因此我们依靠数学来指导我们纠正结果。这就是为什么我们通常在实践中不会花很多钱，但是每个人都应该知道这一点。

参考

鲁丁，沃尔特。 真实和复杂分析。麦格劳·希尔（McGraw-Hill），1974年：第6.2节（绝对连续性）和第8.1节（度量的导数）。

— ub
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在其他应用程序中，非绝对继续分布很多。一个例子是在（某些）动力学系统中，有大量的马蹄形马蹄铁，这些马蹄铁产生具有Cantor分布之类的特性的分布。

— kjetil b halvorsen

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