iid（均匀或正态）数据的特征值估计分布

假设我有一个数据集 $d$ 尺寸（例如 $d=20$），以便每个维度都是iid $X_i \sim U[0;1]$ （或者，每个维度 $X_i \sim \mathcal N[0;1]$），并且彼此独立。

现在，我从该数据集中绘制一个随机对象，并采用 $k=3\cdot d$最近的邻居，并在此集合上计算PCA。与人们可能期望的相反，特征值并不完全相同。在20个尺寸统一的情况下，典型结果如下所示：

0.11952316626613427, 0.1151758808663646, 0.11170020254046743, 0.1019390988585198,
0.0924502502204256, 0.08716272453538032, 0.0782945015348525, 0.06965903935713605, 
0.06346159593226684, 0.054527131148532824, 0.05346303562884964, 0.04348400728546128, 
0.042304834600062985, 0.03229641081461124, 0.031532033468325706, 0.0266801529298156, 
0.020332085835946957, 0.01825531821510237, 0.01483790669963606, 0.0068195084468626625

对于正态分布数据，结果似乎非常相似，至少在将它们重新缩放为总和为 $1$ （ $\mathcal N[0;1]^d$ 分布显然首先具有较高的方差）。

我想知道是否有任何结果可以预测这种行为？我正在寻找测试该特征值序列是否一定规律，多少特征值符合预期以及哪些特征值与预期值明显不同的方法。

对于给定的（小）样本量 $k$，如果两个变量的相关系数显着，是否有结果？即使是iid变量，有时偶尔也会得到非0的结果$k$。

关于随机矩阵的特征值分布有大量文献（您可以尝试使用Google搜索随机矩阵理论）。尤其是，Marcenko-Pastur分布可预测特征变量的协方差矩阵的特征值分布$i.i.d.$当变量和观测值的数量达到无穷大时，均值为零且方差相等的数据。密切相关的是维格纳的半圆分布。