函数在统计中的重要性是什么？

在我的微积分课上，我们遇到了函数或“钟形曲线”，并被告知该函数在统计中有广泛的应用。$e^{-x^2}$

出于好奇，我想问：函数在统计中真的很重要吗？如果是这样，那么使有用的原因是什么，它的一些应用是什么？$e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

我在互联网上找不到有关此功能的太多信息，但是经过一些研究，我发现钟形曲线通常与正态分布之间存在联系。一个维基百科页面链接这些类型的功能，统计应用，由我强调，各国：

“正态分布被认为是统计中最突出的概率分布。其原因如下：1首先，正态分布由中心极限定理产生，该极限定理指出，在温和条件下，抽取了大量随机变量的总和不论原始分布的形式如何，来自同一分布的近似正态分布。”

因此，如果我从某种调查等中收集了大量数据，它们可以在类的函数之间平均分配。函数是对称的，对称性也就是对称的，即它对正态分布的有用性，是什么使它在统计中如此有用？我只是在推测。$e^{-x^2}$

通常，什么使在统计中有用？如果正态分布是唯一的区域，那么是什么使在正态分布的其他高斯类型函数中唯一或特别有用？$e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

该函数很重要的原因确实是正态分布及其紧密联系的伴奏，即中心极限定理（我们在其他问题中对CLT有一些很好的解释）。

在统计中，CLT通常可用于近似计算概率，从而使诸如“我们对95％的信心...”这样的陈述成为可能（“ 95％的信心”的含义常常被误解，但这是另一回事）。

函数是（经缩放的版本）的正态分布的密度函数。如果可以使用正态分布对随机量进行建模，则此函数描述该量的不同可能值的可能性。高密度区域的结果比低密度区域的结果更有可能。$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$

和 σ是确定密度函数的位置和比例的参数。它与 μ对称，因此更改 μ意味着您将函数向右或向左移动。σ确定密度函数的最大值（ x = μ），以及 x从 μ移开时它变为0的速度。从这个意义上讲，更改 σ会更改函数的范围。$\mu$$\sigma$$\mu$$\mu$$\sigma$$x=\mu$$x$$\mu$$\sigma$

对于特定选择，和σ = 1 / $\mu=0$密度是（与e - x 2成正比）。这些参数并不是特别有趣的选择，但是它的好处是产生的密度函数看上去比所有其他函数都简单一些。$\sigma=1/\sqrt{2}$$e^{-x^2}$

在另一方面，我们可以从去由变化变量的对任何其他正常密度X = û - $e^{-x^2}$。你的教科书说，究其原因ë-X2，而不是EXP（- （X-μ）$x=\frac{u-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$$e^{-x^2}$，是一个非常重要的功能是，ë-X2是简单写。$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$$e^{-x^2}$

你说得对，正态分布或高斯是缩放和移动，这样的重要性，EXP （- X 2）从事实，即它在本质上是正态分布来居多。$\exp (-x^2)$$\exp (-x^2)$

正态分布很重要，主要是因为（“在适度的规律性条件下”）当“许多”接近无穷大时，许多独立且分布均匀的随机变量的总和接近正态。

并非所有内容都是正态分布的。例如，您的调查结果可能并非如此，至少是如果回答甚至不是连续的，而是整数1-5。但是结果的均值通常分布在重复采样中，因为均值只是按比例缩放（归一化）的总和，并且各个响应彼此独立。当然，假设样本足够大，因为严格来说，仅当样本的大小变得无限大时，常态才会出现。

从示例中可以看到，即使数据不是正态分布，也可能由于估计或建模过程而出现正态分布。因此，统计数据中到处都有正态分布。在贝叶斯统计中，参数的许多后验分布近似为正态分布，或可以假定为正态分布。

$n$$0$$1/n$$\sqrt{n}$