我听说随机变量的比率或逆数经常会出现问题，因为没有期望值。这是为什么？

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标题就是问题。有人告诉我，随机变量的比率和倒数常常是有问题的。这意味着期望通常不存在。是否有一个简单的，普遍的解释？

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我想提供一个非常简单，直观的解释。这相当于看一眼图片：本文的其余部分将解释图片并从中得出结论。

归结为：当“概率质量”集中在附近时，在附近会有太多的概率，从而导致期望值不确定。 $X=0$ $1/X\approx \pm \infty$

让我们着眼于随机变量，它具有在附近的连续密度，而不是完全笼统。假设。在视觉上，这些条件意味着的图形位于周围的轴上方： $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

在附近的连续性表示，对于任何小于正高度和足够小的，我们可以在该图下方雕刻一个矩形，该矩形以为中心，宽度为，高度为，如图所示。这相当于将原始分布表示为均匀分布（权重）和任何剩余量的混合物。 $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

换句话说，我们可能认为是通过以下方式产生的： $X$

以概率，从均匀分布中得出一个值。 $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
否则，从分布中得出一个值，该值的密度与成正比。（此功能在右侧以黄色绘制。） $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

（是指标功能。） $I$

步骤表明，对于任何，介于和之间的机会超过。等效地，这是超过的机会。换句话说：为的幸存者功能写 $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

该图显示所有。 $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

我们现在完成了，因为关于事实意味着期望是不确定的。 $S$ 比较参与运算的正的部分的期望的积分，： $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

（这是一个纯粹的几何论证：每个积分代表一个可识别的二维区域，所有不等式都来自这些区域内的严格包含。实际上，我们甚至不需要知道最终的积分是一个对数：存在简单的几何显示此积分差异的参数。）

由于右侧随着偏离，因此偏离。负数部分为是相同的（因为矩形以为中心），并且相同的参数显示了对的负数部分的期望。因此，本身的期望是不确定的。 $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

顺便提一句，同一论点表明，当概率集中在一侧时，例如任何指数或Gamma分布（形状参数小于），则正期望值仍会发散，但负期望值将为零。在这种情况下，期望是定义的，但它是无限的。 $X$ $0$ $1$

— ub
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我是否怀疑的假设对结果至关重要？我的意思是，在某些情况下，我们存在至少在某些相关参数范围内具有矩的情况，并且看来是在，例如Gamma / Inverse-Gamma

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

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@Alecos不，这个假设并不重要。的连续性和在处的连续性使论点变得简单，但都不是必不可少的。考虑一个与密度正比于为和。它在处连续，但没有期望。

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— ub

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比率和逆对非负随机变量而言最有意义，因此我几乎可以肯定地假设。然后，如果是一个离散变量，其概率为零，则概率为零，我们将以零的概率除以零，这解释了为什么不存在的期望。 $X \ge 0$ $X$ $1/X$

现在来看连续分布情况，其中是具有密度函数的随机变量。我们将假设且是连续的（至少为零）。然后有一个使得为。的期望值由现在让我们将积分变量更改为，我们有，获取 $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ 现在，假设在上所以在上，使用下式得到表示期望不存在。满足此假设的示例是比率为1的指数分布。

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

我们给出了逆的答案，那么比率呢？令为两个非负随机变量的比率。如果它们是独立的，我们可以写所以这几乎可以为第一种情况，没有太多新的要说的内容。如果它们是相互依存的，联合密度因数为那么我们得到（使用与上述相同的替代方法），我们可以对内部积分进行上述推理。其结果将是，如果条件密度（给定 $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ）是正数，并且在零处连续，对于一组具有正边际概率的，期望将是无限的。我想找到的边际期望是无限的例子很容易，但是除非有完美的相关性，否则比率的期望是有限的。很高兴看到一些这样的例子！

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— 凯捷蒂尔·哈沃森
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