是否有Pillai迹线和Hotelling-Lawley迹线的推广？

在多元多元回归（向量回归和回归）的设置中，一般假设的四个主要检验（Wilk's Lambda，Pillai-Bartlett，Hotelling-Lawley和Roy's最大根）都取决于矩阵的特征值。，其中和是“解释”和“总计”变异矩阵。 $H E^{-1}$ $H$ $E$

我注意到Pillai和Hotelling-Lawley统计信息都可以表示为分别表示。我正在寻找一个应用，其中情况下，对于和的总体类似物定义的该迹线的分布是有意义的。（我的工作中存在模错误。）我很好奇，如果通用的样本统计信息存在某种已知的统一性，或者捕获了四个经典测试中的两个或多个的其他通用性。我意识到不等于或

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ ，分子在零下不再看起来像卡方，因此中心F逼近似乎值得怀疑，所以也许这是一个死胡同。

我希望对零下（即回归系数的真矩阵全为零）下和替代下的的分布进行一些研究。我对情况特别感兴趣，但是，如果在一般情况下有工作，我当然可以使用。 $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— 破旧的
source

等一下，

是'

'的纯变体，而

是'T'otal的变体？只是检查我的助记符。

H

$H$

E

$E$

— 主教

@cardinal，是正确的。当

是多变量最小二乘拟合到的相关系数，我们有

和

A（直译）大图从迈克尔友好概述已经相当有用的我：psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/...

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

谢谢！我来看一下（顺便说一句，我只是根据字母的选择来取笑，“ h”代表“解释”，“ e”代表“总计”。）（+1）来自我。

— 主教

@cardinal我咖啡因不足以注意到这个笑话。是的，助记符不好，但是选择

和

（以及

）是很标准的。

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef 2012年

这个笑话很糟糕，以至于需要注意很多咖啡因。

— 主教

我认为生产性概括将来自以下观察

一些这些测试的是矢量的规范，所以霍特林-罗礼的轨迹是范数，，和罗伊的最大根源是规范， ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ 。 $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
其中一些测试可能是矩阵的范数，例如，罗伊的最大根是频谱，或，范数。 $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
某些测试可能是的广义熵形式，例如，霍特林-罗礼的跟踪是GE（1），罗伊的最大根是GE（），和Wilks的是GE（-1）上，由每个单调变换。 $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

当接受其他规范或其他广义熵参数时，可能得出其他有意义的统计信息。我怀疑任何人会产生你，虽然。 $\psi_2$

— 斯塔克
source

我相信我们有

，其中

是的本征值

。但这似乎并没有带我到任何地方。我想我对特征值之和的分布不了解...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef 2012年