如果X和Y不相关，那么X ^ 2和Y也不相关吗？

如果两个随机变量$X$和不相关，我们还可以知道和不相关吗？我的假设是。X 2$Y$$X^2$$Y$

$X, Y$不相关意味着，或$E[XY]=E[X]E[Y]$

$$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$$

这是否也意味着以下内容？

$$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$$

否。一个反例：

让上均匀地分布[ - 1 ，1 ]，ÿ = $X$$[-1, 1]$。$Y = X^2$

则以及E [ X Y ] = E [ X 3 ] = 0（X 3是奇函数），所以$E[X]=0$$E[XY]=E[X^3]=0$$X^3$不相关。$X,Y$

但是$E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

最后一个不平等源于詹森的不平等。它还由以下事实得出 ，因为$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$是不恒定的。$X$

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您的推理问题是可能取决于y，反之亦然，因此您的倒数第二个等式无效。$f_X$$y$

即使，不仅X 2和Y可能相关，而且Corr （X 2，Y ）= 1时它们甚至可以完全相关：$\operatorname{Corr}(X,Y)=0$$X^2$$Y$$\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

或：$\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

如果你不能读取R代码里面，第一示例是相当于考虑两个随机变量和ÿ与AA共同分布，使得（X ，ÿ ）是等可能地（- 1 ，1 ），（0 ，0 ）或（1 ，1 ）。在完全负相关的示例中，（X ，Y ）同样可能是（− 1 ），$X$$Y$$(X,Y)$$(-1,1)$$(0,0)$$(1,1)$$(X,Y)$$(-1,-1)$$(0,0)$ or $(1,-1)$.

Nevertheless, we can also construct $X$ and $Y$ such that $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$, so all extremes are possible:

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

$E[h(X,Y)]$

$$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$$ $$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$$ The two coincide if $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$, i.e. if $X$ and $Y$ are independent. Being uncorrelated is a necessary but not sufficient condition for being independent. So if two variables $X$ and $Y$ are uncorrelated but dependent, then $f(X)$ and $g(Y)$ may be correlated.