为什么将Poisson回归用于计数数据？

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我了解到，对于某些数据集（例如投票），它的效果更好。为什么在普通的线性回归或逻辑回归上使用泊松回归？它的数学动机是什么？

count-data poisson-regression

— zaxtax
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见我回答这个职位的另一个观点： stats.stackexchange.com/questions/142338/...

— 的Kjetil b HALVORSEN

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泊松分布数据本质上是整数值，这对计数数据有意义。普通最小二乘（OLS，您称为“线性回归”）假设真实值通常分布在期望值附近，并且可以采用任何实际值，无论是正数还是负数，整数或分数。最后，逻辑回归仅适用于0-1值（TRUE-FALSE值）的数据，例如“有疾病”与“没有疾病”。因此，泊松分布对于计数数据最有意义。

也就是说，对于均值大于或等于30的数据，正态分布通常可以很好地近似于泊松分布。在回归框架中，您可以使用预测变量来影响计数，因此具有正态分布的OLS可能更容易拟合，并且实际上更通用，因为Poisson分布和回归假设均值和方差相等，而OLS可以处理不相等的均值和方差-例如，对于具有不同均值和方差的计数数据模型，可以使用负二项式分布。

— S. Kolassa-恢复莫妮卡
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需要注意的是刚装修使用OLS不需要正常-当你做，你需要正态分布asssumption参数推断这是

— 达诚

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@戴森：我站得住了。

— S. Kolassa-恢复莫妮卡2012年

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如果您使用方差的Huber / White / Sandwich估计量，则可以放宽均方差假设

— Dimitriy V. Masterov

@Dason虽然并非严格要求，但对于要拟合的模型使用正确的模型几乎总是可以提供更好的估计，并且可以在残差图中看到它。

— 2014年

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从本质上讲，这是因为线性和逻辑回归对计数结果的外观做出了错误的假设。想象一下您的模型是一个非常愚蠢的机器人，无论这些命令多么愚蠢，它都会无情地遵循您的命令；它完全没有能力评估您所说的内容。如果您告诉机器人，票数从负无穷大到无穷大是连续分布的，那就是它认为票数是什么样的，它可能会给您毫无意义的预测（罗斯佩罗在即将举行的选举中将获得-10.469票）。

相反，泊松分布是离散且为正的（或零...零算为正，是吗？）。至少，这将迫使您的机器人为您提供现实生活中可能实际发生的答案。它们可能是好答案，也可能不是，但这至少是从“投票数”的可能集合中得出的。

当然，泊松也有其自身的问题：它假设投票计数变量的平均值也将与其方差相同。我不知道我是否曾经真正看过一个虚构的例子。幸运的是，聪明的人还提出了其他分布，这些分布也是正的和离散的，但是增加了参数以允许方差发生变化（例如，负二项式回归）。

— 马特·帕克
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$T = 1$ $\lambda$ $T = t$ $\lambda.t$ $\lambda.t$

p （ ñ = ñ ） = \frac{（ λ 。 Ť ）^{ñ} Ë^{- λ 。 Ť}}{ñ ！}

$p(N=n) = \frac{(\lambda.t)^{n}e^{-\lambda.t}}{n!}$

通过这种方法以及最大似然法和广义线性模型（或其他方法），您可以得出泊松回归。

简单来说，泊松回归是一种模型，它符合基础随机过程的假设，该随机过程以模型中其他变量确定的速率（即每单位时间的数量）生成少量事件。

— 甲壳动物
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其他人基本上都说了我将要讲的同样的话，但我想我应该加我的看法。这取决于您正在执行的操作，但是很多时候我们希望将手头的问题/数据概念化。与仅建立可以很好预测的模型相比，这是一种略有不同的方法。如果我们试图概念化正在发生的事情，那么使用非负分布对计数数据进行建模是有意义的，该非负分布仅将质量置于整数值。我们也有许多结果，基本上可以归结为说在某些条件下，计数数据确实是作为泊松散布。因此，如果我们的目标是概念化问题，那么使用泊松作为响应变量确实很有意义。其他人指出了为什么这样做是个好主意的其他原因，但是如果您真的试图将问题概念化并真正了解如何生成看到的数据，那么在某些情况下使用泊松回归就很有意义。

— 达森
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我的理解主要是因为计数始终是正数且是离散的，因此Poisson可以使用一个参数来汇总此类数据。主要问题是方差等于平均值。