我们如何限制随机变量最大的概率？

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ 假设我们有 $N$ 独立的随机变量 $X_1$ ， $\ldots$ ， $X_n$ 具有有限的均值 $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ 和方差 $\sigma_1^2$ ， $\ldots$ ， $\sigma_N^2$ 。我正在寻找任意 $X_i \neq X_N$ 大于所有其他 $X_j$ ，的概率的无分布边界 $j \neq i$ 。

换句话说，如果为了简单起见，我们假设的分布 $X_i$ 是连续的（使得 $\P(X_i = X_j) = 0$ ），那么我正在寻找

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$ 如果

N = 2

$N=2$ ，我们可以使用切比雪夫不等式得到：

P (X_{1} = max_{j} X_{j}) = P (X_{1} > X_{2}) \leq \frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}} .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$ 我想找到一般

一些简单（不一定紧）边界

N

$N$ ，但是我无法找到（美学上）一般

令人满意的结果

N

$N$ 。

请注意，这些变量不假定为iid。欢迎对相关工作提出任何建议或参考。

更新：回想一下，假设 $\mu_j \geq \mu_i$ 。然后，我们可以使用上面的边界得出：

P （ X_{一世} = \underset{Ĵ}{最高} X_{Ĵ} ） \leq \underset{Ĵ > 一世}{分} \frac{σ_{一世}^{2} + σ_{Ĵ}^{2}}{σ_{一世}^{2} + σ_{Ĵ}^{2} + （ μ_{Ĵ} - μ_{一世} ）^{2}} \leq \frac{σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2}}{σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2} + （ μ_{ñ} - μ_{一世} ）^{2}} 。

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ 这意味着：

（ μ_{ñ} - μ_{一世} ） P （ X_{一世} = \underset{Ĵ}{最高} X_{Ĵ} ） \leq （ μ_{ñ} - μ_{一世} ） \frac{σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2}}{σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2} + （ μ_{ñ} - μ_{一世} ）^{2}} \leq \frac{1个}{2} \sqrt{σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2}} 。

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ 反过来，这意味着：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} μ_{一世} P （ X_{一世} = \underset{Ĵ}{最高} X_{Ĵ} ） \geq μ_{ñ} - \frac{ñ}{2} \sqrt{\sum_{一世 = 1个}^{ñ - 1个} （ σ_{一世}^{2} + σ_{ñ}^{2} ）} 。

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ 我现在想知道是否可以将此边界改进为不线性依赖

N

$N$ 。例如，是否满足以下条件：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} μ_{一世} P （ X_{一世} = \underset{Ĵ}{最高} X_{Ĵ} ） \geq μ_{ñ} - \sqrt{\sum_{一世 = 1个}^{ñ} σ_{一世}^{2}} ？

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$ 如果没有，那可能是个反例？

probability bounds maximum

— 最小二乘
source

如果使用的索引

j

$j$ 给出较小的上限而不是

，则此界限可能会更严格

N

$N$ 。注意，该值取决于均值和方差。

@MichaelChernick：我认为那是不对的。例如，假设我们在

上具有三个均匀分布

[0, 1]

$[0,1]$ 。然后，如果我没记错的话，

P (X_{1} < max_{j} X_{j}) = 2 / 3

$P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$ ，而

P (X_{1} < X_{2}) = P (X_{1} < X_{3}) = 1 / 2

$P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$ 。我不知道您是否打算写

P (X_{i} > max_{j} X_{j})

$P( X_i > \max_j X_j )$ ，但是同一示例表明它仍然无效。

— MLS

@Michael：不幸的是，那仍然不是真的。事件为固定不是独立的。

A_{j} = {X_{i} > X_{j}}

$A_j = \{X_i > X_j\}$

i

$i$

— 主教

@cardinal：除其他外，它与多臂匪徒有关。如果您根据之前的奖励选择了一个手臂，那么您选择最佳手臂的概率是多少在上面的符号中为），我们可以限制选择一个子对象的预期损失 -最佳手臂？

P (X_{N} = max_{j} X_{j})

$P(X_N = \max_j X_j)$

— MLS

交叉发布到MathOverflow：mathoverflow.net/questions/99313

— 主教

Answers:

您可以使用多元Chebyshev不等式。

两个变量的情况

对于单个情况与，我得出的情况与Jochen在2016年11月4日发表的评论相同 $X_1$ $X_2$

1）如果然后 $\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

（我也想知道您的推导）

公式1的推导

使用新变量 $X_1-X_2$
对其进行转换，使其均值为零
取绝对值
应用切比雪夫不等式

\begin{matrix} P （ X_{1个} > X_{2} ） & = P （ X_{1个} - X_{2} > 0 ） \\ = P （ X_{1个} - X_{2} - （ μ_{1个} - μ_{2} ） > - （ μ_{1个} - μ_{2} ） ） \\ \leq P （ | X_{1个} - X_{2} - （ μ_{1个} - μ_{2} ） | > μ_{2} - μ_{1个} ） \\ \leq \frac{σ_{（ X_{1个} - X_{2} - （ μ_{1个} - μ_{2} ） ）}^{2}}{（ μ_{2} - μ_{1个} ）^{2}} = \frac{σ_{X_{1个}}^{2} + σ_{X_{2}}^{2}}{（ μ_{2} - μ_{1个} ）^{2}} \end{matrix}

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

多元案例

通过将等式（1）中的不等式应用于每个多个转换变量，可以将其变为多变量情况（请注意，它们是相关的）。 $(X_n-X_i)$ $i<n$

I. Olkin和JW Pratt已描述了此问题的解决方案（多元和相关）。《数理统计年鉴》中的“多元Tchebycheff不等式”，第29页，第226-234页 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

注意定理2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

其中的变量数和。 $p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

定理3.6提供了更严格的界限，但计算起来较不容易。

编辑

使用多元Cantelli不等式，可以找到更清晰的界限。该不等式是您之前使用并为您提供边界类型比。 $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

我没有花时间研究整篇文章，但是无论如何，您可以在这里找到解决方案：

AW Marshall和 I.Olkin 《数学统计年鉴》第31卷488-491页中的`` 切比雪夫类型的单面不等式'' https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

（注：这个不等式是为了相等的相关性而没有足够的帮助。但是，无论如何，找到最清晰的界限的问题等于更普遍的多元Cantelli不等式。如果不存在该解决方案，我会感到惊讶）

— 天性
source

您能否清楚说明多元Chebyshev不等式？

— ub

我已经编辑了提供整个定理的解决方案。

— Sextus Empiricus

-1

我发现了一个定理，可能会对您有所帮助，并将尝试根据您的需要对其进行调整。假设您有：

Ë X p （ Ť \cdot Ë （ \underset{1个 \leq 一世 \leq ñ}{米 一种 X} X_{一世} ） ）

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

然后通过詹森的不等式（因为exp（。）是凸函数），我们得到：

Ë X p （ Ť \cdot Ë （ \underset{1个 \leq 一世 \leq ñ}{米 一种 X} X_{一世} ） ） \leq Ë （ Ë X p （ Ť \cdot \underset{1个 \leq 一世 \leq ñ}{米 一种 X} X_{一世} ） ） = Ë （ \underset{1个 \leq 一世 \leq ñ}{米 一种 X} Ë X p （ Ť \cdot X_{一世} ） ） \leq \sum_{一世 = 1个}^{ñ} Ë （ Ë X p （ Ť \cdot X_{一世} ）

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

现在，对于您必须插入随机变量的矩生成函数是什么（因为它只是mgf的定义）。然后，这样做之后（可能简化术语），则采用该术语并取对数除以t即可得到关于术语，然后您可以选择带有任意值的t（最佳，以便使项小，使边界紧密）。 $exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

然后，您有一个关于n rvs以上最大值的期望值的声明。现在要获得有关这些rv的最大值偏离此期望值的概率的陈述，您可以使用Markov不等式（假设您的rv为非负数）或另一个更具体的rv应用于您的特定rv。

— 费边·法尔克（Fabian Falck）
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