为什么ln [E（x）]> E [ln（x）]？

我们正在处理金融课程中的对数正态分布，而我的教科书只是说这是对的，由于我的数学背景不是很强，但我想要直觉，这让我感到沮丧。谁能告诉我为什么会这样？

回想一下，$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

现在取双方的原木

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

或者：

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

现在，对双方都抱有期望：

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

插图（显示与詹森不等式的联系）：

（这里X和Y的角色互换了，以便它们与绘图轴匹配；更好的计划是将它们的角色交换到上面，以便绘图更直接地与代数匹配。）

实线表示每个轴上的均值。

$X$$Y$$Y$