为什么期望与算术平均值相同？

今天，我遇到了一个名为“数学期望”的新主题。我所遵循的书说，期望是来自任何概率分布的随机变量的算术平均值。但是，它将期望定义为某些数据乘积与概率的总和。这两个（平均值和期望值）如何相同？概率与数据之和如何才能成为整个分布的平均值？

非正式地，概率分布定义了随机变量结果的相对频率-预期值可以认为是这些结果的加权平均值（由相对频率加权）。类似地，可以将期望值视为一组数字的算术平均值，该数字与它们的出现概率成正比（在连续随机变量的情况下，由于特定值的概率为0，所以并不完全正确）。$0$

期望值和算术平均值之间的联系通过离散随机变量最为清楚，其中期望值是

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

其中是样本空间。例如，假设您有一个离散的随机变量X：$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

您会看到它与期望值完全相同。

期望是随机变量的平均值或平均值，而不是概率分布。这样，对于离散随机变量，随机变量取值的加权平均值，其中加权是根据那些单个值出现的相对频率进行的。对于绝对连续的随机变量，它是值x的整数乘以概率密度。可以将观察到的数据视为独立一致分布的随机变量集合的值。样本均值（或样本期望值）定义为相对于观察数据的经验分布的数据期望值。这使得它只是数据的算术平均值。

让我们密切注意这些定义：

均值定义为数字集合的总和除以集合中数字的数量。计算将为“对于1到n中的i，（x sub i的总和）除以n”。

期望值（EV）是它表示的实验重复的长期平均值。计算将是“对于i在1到n中，事件x sub i的总和乘以其概率（并且所有p sub i的总和必须为1）。”

在公平的情况下，很容易看出均值和EV相同。均值-（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）/ 6-3.5和EV为：

概率xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV =总和（p * x）= 3.50

但是，如果死亡不是“公平的”呢？制作不公平模具的一种简单方法是在4、5和6个面的相交处的拐角处钻一个孔。现在让我们进一步说，在我们新的和改进的弯曲模具上滚动4、5或6的概率现在为.2，而滚动1、2或3的概率现在为.133。它是具有6个面的相同模具，每个面上有一个数字，并且该模具的平均值仍为3.5。但是，经过多次掷骰后，我们的EV现在为3.8，因为事件的概率不再对所有事件都相同。

概率xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV =总和（p * x）= 3.80

同样，让我们​​小心一点，然后回到定义，然后再断定一件事将永远与另一件事“相同”。看看如何设置普通模具，并在其他7个角上钻一个洞，看看电动车如何变化-玩得开心。

鲍勃

“平均值”和“期望值”之间的唯一区别在于，均值主要用于频率分布，而期望则用于概率分布。在频率分布中，样本空间由变量及其发生频率组成。在概率分布中，样本空间由随机变量及其概率组成。现在我们知道样本空间中所有变量的总概率必须为= 1。基本区别就在于此。期望的分母项始终为= 1。（即，求和f（xi）= 1）但是，对频率总和（基本上是条目总数）没有这种限制。