样本量与先验对后验的影响之间有什么关系？

如果我们的样本量较小，那么先验分布会极大地影响后验分布吗？

是。在给定数据集X的情况下，参数的后验分布可写为$\theta$${\bf X}$

$$p(\theta | {\bf X}) \propto \underbrace{p({\bf X} | \theta)}_{{\rm likelihood}} \cdot \underbrace{p(\theta)}_{{\rm prior}}$$

或者，如通常在对数刻度上显示的那样，

$$\log( p(\theta | {\bf X}) ) = c + L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$$

对数似然，，与样品大小尺度，因为它是数据的功能，而现有密度没有。因此，随着样本量的增加，L （θ ; X）的绝对值变大，而log （p （θ ））保持固定（对于θ的固定值），因此总和L （θ ; X$L(\theta;{\bf X}) = \log \left( p({\bf X}|\theta) \right)$$L(\theta;{\bf X})$$\log(p(\theta))$$\theta$随着样本大小的增加， + log （p （θ ））受 L （θ ; X）的影响更大。$L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$$L(\theta;{\bf X})$

因此，直接回答您的问题-先验分布变得越来越不相关，因为它被可能性所抵消。因此，对于较小的样本量，先验分布起着更大的作用。这符合直觉，因为您希望当没有足够的数据来证明它们时，先前的规范将发挥更大的作用，而如果样本量很大，则数据中存在的信号将超过任何先验的信念被放入模型中。

这是尝试说明Macro出色（+1）答案的最后一段。它示出了两个先验的参数在乙我Ñ ø 米我一升（Ñ ，p ）分布。对于几个不同的n，当观察到x = n / 2时，显示后验分布。如Ñ增长，两者后验变得周围越来越浓缩1 / 2。$p$${\rm Binomial}(n,p)$$n$$x=n/2$$n$$1/2$

对于$n=2$，差异很大，但对于，实际上没有差异。$n=50$

下面的两个是先验（黑色）和乙Ë 吨一个（2 ，2 ）（红色）。后代的颜色与它们的先验颜色相同。${\rm Beta(1/2,1/2)}$${\rm Beta(2,2)}$

（请注意，对于许多其他模型和其他先验模型，对于先验无关紧要是不够的！）$n=50$