为什么不将Beta / Dirichlet回归视为广义线性模型？

前提是来自R封装betareg¹小插图的报价。

此外，该模型与广义线性模型（GLM； McCullagh and Nelder 1989）具有一些共同的属性（例如线性预测变量，链接函数，色散参数），但这不是该框架的特殊情况（即使对于固定色散也不是） ）

这个答案也暗示了这一事实：

[...]这是一种回归模型，当响应变量以Beta形式分发时适用。您可以将其视为 类似于广义线性模型。这正是您正在寻找的（重点是我的）

问题标题说明了一切：为什么不将Beta / Dirichlet回归视为广义线性模型（不是）？

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据我所知，广义线性模型定义的模型建立在对期望变量的期望之上，这些期望变量以独立变量为条件。

$f$是链接函数的期望映射，$g$是概率分布，$Y$结果和$X$的predictiors，$\beta$是线性参数和$\sigma^2$的方差。

$$f\left(\mathbb E\left(Y\mid X\right)\right) \sim g(\beta X, I\sigma^2)$$

不同的GLM会强加（或放宽）均值和方差之间的关系，但是必须是指数族中的概率分布，这是一种理想的属性，如果我没有记错的话，应该可以提高估计的鲁棒性。但是，Beta和Dirichlet分布是指数族的一部分，所以我没有主意。$g$

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[1] Cribari-Neto，F.和Zeileis，A.（2009）。R中的Beta回归。

检查原始参考：

Ferrari，S.和Cribari-Neto，F.（2004）。Beta回归模型化率和比例。Journal of Applied Statistics，31（7），799-815。

如作者所述，重新参数化的beta分布的参数是相关的，因此

$\beta$$\phi$

因此，尽管模型看起来像GLM，而庸医像GLM，但它并不完全适合框架。

@probabilityislogic的答案是正确的。

Beta分布在两个参数指数族中。Nelder和Wedderburn（1972）描述的简单GLM模型并未包括两个参数指数族中的所有分布。

根据N＆W的文章，GLM适用于以下类型的密度函数（后来在 Jørgensen1987中称为指数色散族）：

$$\pi(z;\theta,\phi) = \exp \left[ \alpha(\phi) \lbrace z\theta - g(\theta) +h(z)\rbrace +\beta(\phi,z) \right]$$

$f()$$\theta = f(\mu) = f(X\beta)$

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所以我们也可以重写上面的分布：

$$\pi(z;\mu,\phi) = exp \left[z(f(\mu)\alpha(\phi)) +h(z)\alpha(\phi) - g(f(\mu))\alpha(\phi) +\beta(\phi,z) \right]$$

两个参数指数族为：

$$f(z;\theta_1,\theta_2) = exp \left[T_1(z)\eta_1(\theta_1,\theta_2) + T_2(z)\eta_2(\theta_1,\theta_2) - g(\theta_1,\theta_2) +h(z) \right]$$

$\theta$

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区别很明显，并且不可能将beta分布以GLM的形式显示。

但是，我缺乏足够的理解力来创建一个更直观，更明智的答案（我感觉与各种基本原理之间可以有更深入，更优雅的关系）。GLM通过使用单变量指数色散模型代替最小二乘模型来泛化误差分布，并通过使用链接函数来泛化平均值中的线性关系。

$\alpha(\phi)$$\theta$$\theta$

我认为beta分布不是指数弥散族的一部分。为此，您需要具有密度

$$f (y;\theta,\tau)=\exp\left (\frac {y\theta - c (\theta)}{\tau} + d (y,\tau)\right)$$

$c ()$$d ()$$c'(\theta)$$\tau c''(\theta)$$\theta$

所述β分布不能被写入这种方式-看，这是通过注意到没有单程在对数似然术语-它有和代替$y$$\log [y]$$\log [1-y]$

$$f_{beta}(y;\mu,\phi)=\exp\left (\phi\mu\log\left[\frac {y}{1-y}\right] +\phi\log [1-y] - \log [B (\phi\mu,\phi (1-\mu)]-\log\left[\frac {y}{1-y}\right]\right)$$

看到beta不是指数弥散族的另一种方法是，可以将其写为，其中和是独立的，并且都遵循具有相同比例参数（和gamma）的gamma分布。是指数家庭）。 x$y=\frac {x}{x+z}$$x$$z$