从成对的边际分布获得联合分布

假设我们有3个随机变量，并且我们知道成对的边际分布P （X 1，X 2），P （X 2，X 3），P （X 3，X 1），但是我们什么都不知道（例如条件独立）。我们可以得到联合分布P （X 1，X 2，X 3$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$？

没有。

考虑具有双变量（标准，独立）正态余量的三变量分布，但八分圆的一半概率为0，另一半概率为双概率。具体来说，考虑八进制---，-++，+-+，++-具有双概率。

然后，双变量边距与三个iid标准正态变量所得到的边距是无法区分的。确实，存在三元分布的无穷大，将产生相同的二元边际

正如迪利普·萨瓦特（Dilip Sawarte）在评论中指出的那样，他在答案中讨论了实质上相同的示例（但反转了加倍和置零的八分圆），并以更正式的方式对其进行了定义。Whuber提到了一个涉及伯努利变量的示例（在三变量情况下）如下所示：

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

...每个双变量边际将是

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

因此，这等同于三个独立变量的情况（或者实际上等同于三个具有完全相反依赖关系的变量）。

我最初开始写一个与之密切相关的示例，涉及一个三变量均匀性，其棋盘格模式具有较高和较低的概率（一般为零和双精度），交替出现“切片”。

因此，通常无法从双变量边距计算三变量。