构造示例显示

如何构造一个 $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ 假设 $\mathbb{P}(X\ne0)=1$ ？成立。

从Jensen不等式得出的正值RV $X$ 的不等式类似于 $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ （如果 $X<0$ 则为反向不等式）。这是因为该映射 $x\mapsto\frac{1}{x}$ 对于 $x>0$ 是凸的，对于 $x<0$ 凹的。遵循詹森不等式中的等式条件，我猜想分布必须退化才能保持所需的等式。如果 $X=1$ ae，则等式成立的一个简单情况当然是在问题书中找到的一个示例：考虑一个离散随机变量 $X$ ，使得 $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}$ 。然后可以很容易地验证 $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1$ 。

此示例表明， $X$ 不必为正（或负）ae即可保持标题中的相等。这里的分布也不退化。

我如何构造一个示例，可能就像我在书中找到的那样？有动力吗？

— 顽固原子
source

您的示例确实适用于任何非零常量的随机变量。同样，您的第二个例子不会退化。

— Michael R. Chernick

如果不进一步假设

几乎肯定是正的，则不等式并非来自Jensen不等式。

X

$X$

— ub

@MichaelChernick我并不是要说这个例子的分布简陋。

— StubbornAtom

我指的是您的陈述“遵循詹森不等式中的等式条件，我认为分布必须退化才能保持所需的等式。” 但是您展示了一个简朴的例子。

— Michael R. Chernick

@whuber我只是想知道如何找到标题相等的示例。

— StubbornAtom

Answers:

让我们构建体的所有可能的实施例的随机变量为其中。然后，在它们当中，我们可以遵循一些启发式方法以获得最简单的示例。 这些试探法包括为从初步分析中删除的所有表达式提供最简单的可能值。 原来这是教科书的例子。 $X$ $E[X]E[1/X]=1$

初步分析

这仅需要基于定义的一点点分析。该解决方案仅是次要的：主要目的是发展见解，以帮助我们直观地理解结果。

首先观察到Jensen不等式（或柯西-Schwarz不等式）意味着，对于一个正随机变量，，具有平等保持当且仅当是“简并”：即，几乎肯定是常数。当是一个负随机变量，为正，并且上述结果保存与不等号相反。因此，任何示例 $X$ $E[X]E[1/X] \ge 1$ $X$ $X$ $X$ $-X$ 必须具有正的概率为负，正的概率为正。 $E[1/X]=1/E[X]$

这里的见解是，任何与必须以某种方式从针对从其负部分的其它方向上的不等式其正部分“平衡”的不等式。随着我们的前进，这将变得更加清晰。 $X$ $E[X]E[1/X]=1$

考虑任何非零随机变量。制定期望定义的第一步（至少是在使用测度理论进行全面概括的情况下）是将分解为正数和负数，它们都是正随机变量： $X$ $X$

\begin{aligned} Y & = Positive part (X) = max (0, X); \\ Z & = Negative part (X) = - min (0, X) . \end{aligned}

$\eqalign{ Y &= \operatorname{Positive part}(X) = \max(0, X);\\ Z &= \operatorname{Negative part}(X) = -\min(0, X). }$

让我们考虑的作为混合物的与重量和具有重量，其中显然这将使我们能够根据正变量和的期望来写和的期望。 $X$ $Y$ $p$ $-Z$ $1-p$

p = Pr (X > 0), 1 - p = Pr (X < 0) .

$p=\Pr(X\gt 0),\ 1-p = \Pr(X \lt 0).$

0 < p < 1.

$0 \lt p \lt 1.$ $X$ $1/X$ $Y$ $Z$

为了稍微简化即将到来的代数，请注意，将统一缩放为数字不会更改但是会将和分别乘以。对于正，这仅相当于选择的度量单位。负切换和的角色。因此，可以适当地选择的符号，我们可以假设 $X$ $\sigma$ $E[X]E[1/X]$ $E[Y]$ $E[Z]$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\sigma$ $Y$ $Z$ $\sigma$

\begin{matrix} (1) & E [Z] = 1 and E [Y] \geq E [Z] . \end{matrix}

$E[Z]=1\text{ and }E[Y] \ge E[Z].\tag{1}$

符号

就是为了进行初步简化。为了创建一个好的符号，让我们写

μ = E [Y]; ν = E [1 / Y]; λ = E [1 / Z]

$\mu = E[Y];\ \nu = E[1/Y];\ \lambda=E[1/Z]$

对于我们无法控制的三个期望。这三个数量均为正。詹森的不平等断言

\begin{matrix} (2) & μ ν \geq 1 and λ \geq 1. \end{matrix}

$\mu\nu \ge 1\text{ and }\lambda \ge 1.\tag{2}$

总概率定律用我们命名的数量表达对和的期望： $X$ $1/X$

E [X] = E [X ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [X ∣ X < 0] Pr (X < 0) = μ p - (1 - p) = (μ + 1) p - 1

$E[X] = E[X\mid X\gt 0]\Pr(X \gt 0) + E[X\mid X \lt 0]\Pr(X \lt 0) = \mu p - (1-p) = (\mu + 1)p - 1$

和，由于具有相同的符号， $1/X$ $X$

E [\frac{1}{X}] = E [\frac{1}{X} ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [\frac{1}{X} ∣ X < 0] Pr (X < 0) = ν p - λ (1 - p) = (ν + λ) p - λ .

$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{X}\mid X\gt 0\right]\Pr(X \gt 0) + E\left[\frac{1}{X}\mid X \lt 0\right]\Pr(X \lt 0) = \nu p - \lambda(1-p) = (\nu + \lambda)p - \lambda.$

将这两个表达式的乘积等于可以提供变量之间的基本关系： $1$

\begin{matrix} (*) & 1 = E [X] E [\frac{1}{X}] = ((μ + 1) p - 1) ((ν + λ) p - λ) . \end{matrix}

$1 = E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] = ((\mu +1)p - 1)((\nu + \lambda)p - \lambda).\tag{*}$

重新制定问题

假设的零件 -和 --are 任何正随机变量（退化或没有）。确定和。 我们何时可以找到，其中，成立？ $X$ $Y$ $Z$ $\mu, \nu,$ $\lambda$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $(*)$

这清楚地表达了先前仅模糊地陈述的“平衡”见解：我们将使和固定不变，并希望找到的值以适当地平衡它们对的相对贡献。尽管尚不能立即确定存在这样的需求，但很明显，它仅取决于时刻，，和。从而将问题简化为相对简单的代数-随机变量的所有分析均已完成。 $Y$ $Z$ $p$ $X$ $p$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$

解

这个代数问题并不是很难解决，因为最糟糕的是的二次方程，并且控制不等式和比较简单。实际上，告诉我们其根和的乘积为 $(*)$ $p$ $(1)$ $(2)$ $(*)$ $p_1$ $p_2$

p_{1} p_{2} = (λ - 1) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} \geq 0

$p_1p_2 = (\lambda - 1)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \ge 0$

总和是

p_{1} + p_{2} = (2 λ + λ μ + ν) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$p_1 + p_2 = (2\lambda + \lambda \mu + \nu)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

因此，两个根都必须为正。此外，它们的平均值小于，因为 $1$

1 - \frac{(p_{1} + p_{2})}{2} = \frac{λ μ + ν + 2 μ ν}{2 (μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$1 - \frac{(p_1+p_2)}{2} = \frac{\lambda \mu + \nu + 2 \mu \nu}{2(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

（通过做一些代数，不难证明两个根中的较大根也不超过） $1$

定理

这是我们发现的：

给定任意两个正随机变量和（其中至少一个是非简并的），其中，，和存在且是有限的。则存在一个或两个的值，以，即确定一个可变混合物与重量为和重量为和其。随机变量的每一个这样的实例与是这种形式。 $Y$ $Z$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $X$ $p$ $Y$ $1-p$ $-Z$ $E[X]E[1/X]=1$ $X$ $E[X]E[1/X]=1$

这确实为我们提供了丰富的示例！

构建最简单的示例

在描述了所有示例之后，让我们继续构建一个尽可能简单的示例。

对于负数，我们选择一个简并变量 $Z$ -最简单的随机变量。这将被调整来使其价值，从那里。的解包括，将其简化为一个容易求解的线性方程：唯一的正根是 $1$ $\lambda=1$ $(*)$ $p_1=0$

$\begin{matrix} (3) & p = \frac{1}{1 + μ} + \frac{1}{1 + ν} . \end{matrix}$ $p = \frac{1}{1+\mu} + \frac{1}{1+\nu}.\tag{3}$
对于的正部分，如果退化，我们将得不到任何有用的信息，因此让我们在仅两个不同的正值，例如处给它几率。 $Y$ $Y$ $a \lt b$ $\Pr(X=b)=q$ 在这种情况下，期望的定义为

$μ = E [Y] = (1 - q) a + q b; ν = E [1 / Y] = (1 - q) / a + q / b .$ $\mu = E[Y] = (1-q)a + qb;\ \nu = E[1/Y] = (1-q)/a + q/b.$
为了使这个更简单，让我们使和相同： $Y$ $1/Y$ 这将强制和。现在 $q=1-q=1/2$ $a=1/b$

$μ = ν = \frac{b + 1 / b}{2} .$ $\mu = \nu = \frac{b + 1/b}{2}.$
解决方案简化为 $(3)$

$p = \frac{2}{1 + μ} = \frac{4}{2 + b + 1 / b} .$ $p = \frac{2}{1+\mu} = \frac{4}{2 + b + 1/b}.$
我们如何使它包含简单数字？由于和，所以必然。 让我们为选择大于的最简单数；即。前述公式得出，因此，我们为最简单的示例选择的候选对象为 $a\lt b$ $ab=1$ $b\gt 1$ $1$ $b$ $b=2$ $p = 4/(2+2+1/2) = 8/9$

$\begin{aligned} Pr (X = 2) = Pr (X = b) = Pr (Y = b) p = q p = \frac{1}{2} \frac{8}{9} = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = 1 / 2) = Pr (X = a) = Pr (Y = a) p = q p = \dots = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = - 1) = Pr (Z = 1) (1 - p) = 1 - p = \frac{1}{9} . \end{aligned}$ $\eqalign{ \Pr(X=2) = \Pr(X=b) = \Pr(Y=b)p = qp = \frac{1}{2}\frac{8}{9} = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=1/2) = \Pr(X=a) = \Pr(Y=a)p = qp = \cdots = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=-1) = \Pr(Z=1)(1-p) = 1-p = \frac{1}{9}. }$

这是教科书中提供的例子。

— ub
source

好答案。尽管我最初持怀疑态度，但很容易找到具有不同解决方案的示例。

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— P.Windridge

如您所提到的，如果为正，则仅当几乎确定为常数时，才会出现。否则，您需要接受负值和正值。 $X$ $E(1/X)=1/E(X)$ $X$ $X$

为了构造这样的例子，首先要尽可能简单。假设取两个值和，分别为概率和。然后和要使我们需要，将其重新排列为要求这意味着唯一可能的解决方案必须具有或或。在所有情况下，我们都返回简并的情况：是常数。 $X$ $a$ $b$ $p$ $1-p$

E (X) = a p + b (1 - p)

$E(X)=ap+b(1-p)$

E (1 / X) = \frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p) .

$E(1/X)=\frac1ap+\frac1b(1-p).$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

a p + b (1 - p) = \frac{1}{\frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p)}

$ap+b(1-p)=\frac1{\frac1ap+\frac1b(1-p)}$

(a - b)^{2} p (1 - p) = 0.

$(a-b)^2p(1-p)=0.$

a = b

$a=b$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

X

$X$

下一步尝试：具有三个可能值的分布。这里还有更多选择。您引用的示例尝试使用，以使具有相同的分布。如果我们知道取三个值，则必须是其中一个值是或，而其他两个值必须是和才能选择。为了确定性，让我们尝试和。然后满足要求我们要求或 $X$ $1/X$ $X$ $1$ $-1$ $a$ $1/a$ $a$ $P(X=a)=P(X=1/a)=p$ $P(X=-1)=1-2p$

\begin{matrix} (1) & E (1 / X) = E (X) = (a + \frac{1}{a}) p - (1 - 2 p) = (2 + a + \frac{1}{a}) p - 1. \end{matrix}

$E(1/X)=E(X)=(a+\frac1a)p-(1-2p)=(2+a+\frac1a)p-1.\tag1$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

E (X) = 1

$E(X)=1$

E (X) = - 1

$E(X)=-1$ 。除非，否则表达式（1）决不会为，这会使我们再次回到简并的情况。因此，针对，得出表达式（2）给出了满足要求的整个解决方案系列。唯一的限制是必须为正。您引用的示例采用。仅当情况退化时。

- 1

$-1$

p = 0

$p=0$

E (X) = 1

$E(X)=1$

\begin{matrix} (2) & (2 + a + \frac{1}{a}) p = 2 \Leftrightarrow p = \frac{2}{2 + a + \frac{1}{a}} = \frac{2 a}{(a + 1)^{2}} . \end{matrix}

$(2+a+\frac1a)p=2\quad\Leftrightarrow\quad p=\frac2{2+a+\frac1a}=\frac{2a}{(a+1)^2}.\tag2$

a

$a$

a = 2

$a=2$

a = 1

$a=1$

— 大聊天
source

我假设您的第一行旨在“如果为正，则仅在几乎确定为常数时才会出现”，例如。这从詹森不等式（的证明）中得出，我们还使用了不是线性的事实。

X

$X$

E [1 / X] = 1 / E [X]

$\mathbb{E}[1/X]=1/\mathbb{E}[X]$

X

$X$

h (x) = 1 / x

$h(x) = 1/x$

— P.Windridge '10

@ P.Windridge你是对的！固定。

— 2013年