关于克里金的困惑

我正在阅读这篇有关克里金法的维基百科文章。我不明白那部分，当它说

克里格计算最佳线性无偏估计，，的使得克里格的与所述无偏性条件最小化方差。我没有得到推导，也没有得到方差如何最小化。有什么建议么？$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

特别地，在没有偏见的情况下，我没有得到尽量减少应用的部分。

我认为应该

是E [Z'（x0）-Z（x0）]而不是E [Z'（x）-Z（x）]。'等同于Wiki文章中的hat。我也没有得到克里金法误差的推导方式

假设是一个向量，具有未知均值和已知方差-协方差矩阵的多元分布。我们从此分布观察，并希望使用无偏线性预测器从此信息预测：$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• 线性意味着预测必须采用的，才能确定系数。这些系数最多可以取决于预先知道的内容，即的条目。$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

也可以将此预测变量视为随机变量。$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• 无偏意味着的期望等于其（未知）平均值。$\hat{Z_0}$$\mu$

写出一些有关系数的信息：

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

第二行是由于期望的线性，其余所有都是简单的代数。因为假定此过程不管的值如何都可以工作，所以显然系数必须求和为1。用向量符号编写系数，可以将其整齐地写为。$\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

在所有这些无偏线性预测变量的集合中，我们寻求一个与实际均值（以房间均方根度量）尽可能少的偏差。同样，这是一个计算。它依赖于协方差的双线性和对称性，其应用负责第二行中的求和：

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

因此，可以通过在（线性）约束下最小化此二次形式来获得系数。使用拉格朗日乘数法可以很容易地解决这一问题，产生线性方程组，即“克里格方程”。$\mathbf{1}\lambda=1$

在应用程序中，是空间随机过程（“随机场”）。这意味着对于给定的一组固定（非随机）位置，这些位置处的值向量是随机的，具有某种多元分布。写并应用上述分析，假设在所有位置的处理均值相同，并假定在这些处的处理值的协方差矩阵可以肯定地知道位置。$Z$$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$$Z$$\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$$n+1$$\mathbf{x_i}$$n+1$

让我们来解释一下。 在假设（包括恒定均值和已知协方差）下，系数确定任何线性估计量可达到的最小方差。我们将此差异称为（“ OK”用于“普通克里金”）。它仅取决于矩阵。它告诉我们，如果我们要反复从进行采样，并使用这些系数每次从剩余值中预测值，那么$\sigma_{OK}^2$$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. 平均而言，我们的预测是正确的。

2. 通常情况下，我们将进行预测会偏离约从实际值。$z_0$$\sigma_{OK}$$z_0$

在将其应用于实际情况（如从准时数据估计表面）之前，还需要说更多的话：我们需要关于空间过程的统计特征如何从一个位置到另一个位置以及从一个实现到另一个实现变化的附加假设（即使，实际上，通常只有一种实现可用）。但是，这种阐述应该足以跟踪“最佳”无偏线性预测器（“ BLUP”）的搜索如何直接导致线性方程组。

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顺便提一句，通常采用的克里金法与最小二乘估计并不完全相同，因为是在预备程序（称为“变异”）中使用相同数据进行估计的。 这与该推导的假设相反，该推定假定是已知的（并且fortiori独立于数据）。因此，从一开始，克里金就内置了一些概念和统计上的缺陷。有思想的从业人员一直都意识到这一点，并找到了各种创造性的方法来（试图）证明不一致之处。（拥有大量数据可以真正帮助您。） 现在存在同时估算$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$并预测未知位置的值集合。他们需要稍微强一些的假设（多元正态性）才能完成这一壮举。

Kriging只是空间数据的最小二乘估计。这样，它提供了一个线性无偏估计器，该估计器使平方误差之和最小。由于没有偏差，因此MSE =估计方差，并且为最小值。