如果是有限的，吗？

对于连续随机变量 $X$ ，如果 $E(|X|)$ 是有限的，则 $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ 吗？

这是我在互联网上发现的一个问题，但是我不确定它是否成立。

我知道 $n P(|X|>n)<E(|X|)$ 由Markov不等式成立，但是我无法证明当 $n$ 趋于无穷大时，它变为0 。

probability expected-value probability-inequalities

— 456123
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（1）不需要连续性。（2）将期望表达为生存函数

的积分

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ 。（3）考虑相反的情况：非零极限意味着期望值是什么？

— 呜呜叫声

@whuber好运动！我想我有一个正确的答案，但是由于它看起来像self-study，所以我不认为应该在这里写下。我可以创建一个私人聊天室并向您展示我的解决方案，以便您告诉我是否正确吗？

— DeltaIV

@Delta在这种情况下，发布答案对我而言似乎不错：OP有一个特定的子问题，而不仅仅是为了寻找作业答案而已。

— Whuber

@whuber，这使我想起了自然数上不存在均匀分布的现象-这是否意味着虽然此处不需要连续性，但可数加性是？

— 比尔·克拉克

Answers:

查看随机变量的序列，该序列仅保留大值。：显然，，所以注意和对于每个。因此（1）的LHS趋于由主导收敛趋于零。 $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— 大聊天
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我认为您在最后一句话中的意思是“ RHS”，否则，干得好！

— jbowman

@jbowman，他/他的意思是通过占优收敛定理（请注意，仅不足以得出该结论）。我在Wikipedia上添加了DCT的链接

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge-我没有足够仔细地阅读，而是将“ So LHS”与等式1关联起来，而不是与上一句话关联。我的错。

— jbowman

注意，是随机变量。在什么意义上？

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH

@YHH收敛是有针对性的：对于每个，为。

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— grand_chat

我可以提供连续随机变量的答案（肯定会有更通用的答案）。令： $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

从而

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

现在，由于假设是有限的，我们有 $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

然后

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

根据三明治定理。

— 三角洲IV
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@ P.Windridge您能否检查我对主导收敛定理的使用是否正确？我有一个数量，它是非负数，并且不大于限制为0的数量，因此在我的应用中定理。谢谢

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

— DeltaIV

@ DeltaIV-首先，要澄清，“和意味着 ”不是支配的收敛定理（通常称为三明治定理）。

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

— P.Windridge

@ DeltaIV-不，您不需要DCT，MCT就足够了（这包括的可能性，但您不能说

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

— infty-

没问题。顺便说一句，我知道由假设是有限的，我只是在解释您使用该假设的位置（MCT本身不需要它，与DCT不同，@ grand_chat使用了DCT，我希望您看看:)）。

E [Y]

$E[Y]$

— P.Windridge

@ P.Windridge啊，好！我没有注意到MCT不需要这个假设。我确实看过DCT，这就是为什么我认为我不需要它作为证明:)我为此付出了没有在大学里接受过有关Lebesgue集成的教导的代价……出于这个原因，我习惯了根据pdf而不是根据度量进行概率演算。

— DeltaIV '17年

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ （一致可积）

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

即 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Aldehu
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